3.6. Inversibilité et groupes

Groupes de permutations

Une permutation d'un ensemble E est une transformation bijective de E.
L'ensemble ⤹E = {fEE| Inj f ∧ Im f = E} = {fEE| f : EE} de toutes les permutations de E, est un monoide de transformations de E appelé le groupe symétrique de E.
Un groupe de permutations G d'un ensemble E, est une {Id,০,-1}-sous-algèbre de ⤹E, c'est à dire un monoïde de transformations de E fait de permutations et stable par inversion.

Alors que les concepts de monoïde de transformations plein et de groupe symétrique dépendent de l'opérateur de puissance, ceux de monoïde de transformations et de groupe de permutations se définissent indépendamment, comme théories du premier ordre à 2 types.

Les trajectoires sont appelées orbites dans le cas d'un groupe de permutations.
Pour tout monoïde de transformations ou action d'un monoïde M sur un ensemble E, la relation défined par ses trajectoires (∐xE 〈{x}〉M) est un préordre sur E (vu dans l'exemple de 2.7). Si M est un groupe alors ce préordre est une relation d'équivalence, dont la partition de E est l'ensemble des orbites.

Inverses

Dans un monoïde (M,e,•), la formule xy = e se lit "x est un inverse à gauche de y", ou "y est un inverse à droite de x"; ce x est inversible à droite (il a un inverse à droite), et y est inversible à gauche.
Voyant M comme monoïde de transformations par action à gauche sur lui-même, ce xy = e s'interprète comme reliant des transformations :

z,tM, yz = txt = z

Comme les fonctions inversibles à droite sont surjectives et celles inversibles à gauche sont injectives, l'inversibilité à gauche de y signifie que la composition à droite par y est surjective ({zy|zM} = M) et implique que y est simplifiable à gauche:

xy = e ⇒ ∀zM, zxy = z
z,tM, (yz = ytxy = e) ⇒ (z = xyz = xyt = t)

Un élément x est dit inversible s'il l'est des deux côtés. Alors ses inverses à gauche et à droite sont égaux, donc unique, appelé l'inverse de x et noté x-1:

yx = e = xzy = yxz = z

Si un élément y inversible à gauche est aussi simplifiable à droite alors il est inversible: xy=eyxy = eyyx=e.
Cette caractérisation des éléments inversibles vaut aussi pour un élément x d'un M-ensemble X: disant que x est générateur et libre, signifie que le morphisme hx∈ MorM(M,X) est à la fois surjectif and injectif, donc un isomorphisme entre les M-ensembles M et X. On peut alors encore lui voir un inverse sous forme d'un M-morphisme de X vers M.
Si x commute avec un élément inversible y alors il commute aussi avec son inverse z:

xy = yxx = yxzzx = xz

Un élément x d'un monoïde est dit involutif s'il est son propre inverse: xx = e. En particulier e est involutif.

Groupes

Le concept de groupe est la théorie obtenue en ajoutant à celle de monoïde, de façon équivalente En effet ce dernier axiome détermine l'interprétation de -1 par celles de • et e.
Les groupes de permutations sont les monoïdes de transformations qui sont des groupes (suivant le premier sens ci-dessus).
Un sous-groupe d'un groupe est de façon équivalente, un sous-monoïde qui est un groupe (tous ne le sont pas: le sous-monoïde ℕ du groupe ℤ n'est pas un sous-groupe), ou une {e, •,-1}-sous-algèbre.
L'ensemble des éléments inversibles d'un monoïde M, est un groupe: Ses sous-groupes sont tous les sous-monoïdes de M qui sont des groupes, qu'on peut alors appeler les sous-groupes de M.
Entre groupes, un morphisme de groupes est de façon équivalente un {e,•,-1}-morphisme, ou un {e,•}-morphisme, comme ceux-ci préservent aussi l'inversion. Plus généralement tout {e,•}-morphisme d'un groupe vers un monoïde préserve la relation d'inversion {(x,y) | xy = e = yx}, donc son image est un groupe.
Une action d'un groupe G sur un ensemble X, est de façon équivalente une action de monoïde, ou un morphisme de groupe de G vers le groupe symétrique de X.
L'inversion étant un anti-morphisme, change toute action à gauche ▪ de G sur X en action à droite • par ∀xX, ∀gG, x•g = g-1x.
Par le théorème de représentation, tout groupe est isomorphe à un groupe de permutations, à savoir le groupe des automorphismes d'une algèbre.

Dans un groupe, le sous-groupe engendré par une partie A, coïncide avec le sous-monoïde G engendré par A∪-A-A = {x-1|xA}. (Pour vérifier que G est stable par inversion, noter que la définition de G est stable par inversion, qui est involutive, donc -G = G.)

Tout sous-monoïde d'un groupe est simplifiable. Ceci n'a pas de réciproque générale, mais des réciproques partielles, notamment: tout monoïde commutatif simplifiable a un plongement dans un groupe commutatif (ce qui n'est pas très facile à montrer).

Set theory and foundations of mathematics
1. First foundations of mathematics
2. Set theory (continued)
3. Algebra 1
3.1. Morphisms of relational systems and concrete categories
3.2. Algebras
3.3. Special morphisms
3.4. Monoids
3.5. Actions of monoids
3.6. Invertibility and groups
3.7. Categories
3.8. Algebraic terms and term algebras
3.9. Integers and recursion
3.10. Arithmetic with addition
4. Model Theory