3.7. Inversibilité et groupes

Groupes de permutations

Une permutation d'un ensemble E est une transformation bijective de E.
L'ensemble 𝔖E = {f∈EE | f : E↔E} de toutes les permutations de E, est un monoide de transformations de E appelé le groupe symétrique de E.
Un groupe de permutations d'un ensemble E, est une {Id,⚬,-1}-sous-algèbre de 𝔖E.
Dans un groupe de permutations, les trajectoires sont appelées orbites. La relation binaire sur un ensemble E définie par les trajectoires par un monoïde de transformations (ou l'action d'un monoïde) M,

∐x∈E 〈{x}〉M

est un préordre sur E (vu dans l'exemple de 2.7). Si M est un groupe alors ce préordre est une relation d'équivalence, dont la partition de E est l'ensemble des orbites.

Alors que les concepts de monoïde de transformations plein et de groupe symétrique dépendent de l'opérateur de puissance, ceux de monoïde de transformations et de groupe de permutations n'en dépendent pas, s'exprimant comme théories du premier ordre.

Inverses

Dans un monoïde (M,e,•), la formule x•y = e se lit "x est un inverse à gauche de y", ou "y est un inverse à droite de x"; ce x est inversible à droite (il a un inverse à droite), et y est inversible à gauche.
Un élément x est dit inversible s'il l'est des deux côtés. Alors ses inverses à gauche et à droite sont égaux, donc unique, appelé l'inverse de x et noté x-1:

y•x = e = x•z ⇒ y = y•x•z = z

Si x commute avec un élément inversible y alors il commute aussi avec son inverse z:

x•y = y•x ⇔ x = y•x•z ⇔ z•x = x•z

Un élément x d'un monoïde est dit involutif s'il est son propre inverse: x•x = e.

Transpositions

Voici les plus simples permutations au-delà de l'identité de chaque ensemble. Une transposition d'un ensemble E est une permutation de E qui échange 2 éléments et laisse tous les autres fixes :

∀x,y∈E, (x y)E = (E ∋ z ↦ (z = x ? y : (z = y ? x : z))) = (y x)E ∈ 𝔖E

donc (x x)E = IdE qui n'est pas appelé une transposition.
Toute transposition est involutive (ce qui fournit la plus simple preuve formelle que c'est une permutation).

Groupes

Le concept de groupe est la théorie obtenue en ajoutant à celle de monoïde, de façon équivalente En effet ce dernier axiome détermine l'interprétation de -1 par celles de • et e.
Si un monoïde de transformations est un groupe alors c'est un groupe de permutations (comme tout inverse d'une transformation au sens des monoïdes est aussi l'inverse comme fonction).
Un sous-groupe d'un groupe est une {e, •,-1}-sous-algèbre, ou de façon équivalente un sous-monoïde qui est un groupe (les sous-monoïdes de groupes ne sont pas tous des groupes, par exemple ℕ dans ℤ).
Le coeur d'un monoïde M, est l'ensemble de ses éléments inversibles; c'est un sous-monoïde de M et un groupe: Ses sous-groupes sont tous les sous-monoïdes de M qui sont des groupes, qu'on peut alors appeler les sous-groupes de M.
Entre groupes, un morphisme de groupes est de façon équivalente un {e,•,-1}-morphisme, ou un {e,•}-morphisme, comme ceux-ci préservent aussi l'inversion. Plus généralement tout {e,•}-morphisme d'un groupe vers un monoïde préserve la relation d'inversion {(x,y) | x•y = e = y•x}, donc son image est un groupe.

Dans un groupe, le sous-groupe engendré par une partie A, coïncide avec le sous-monoïde engendré par A∪-A où -A = {x-1|x∈A}. (Il est stable par inversion car sa définition est inchangée par inversion, qui est involutive)

Tout sous-monoïde d'un groupe est simplifiable. Ceci n'a pas de réciproque générale, mais des réciproques partielles, notamment: tout monoïde commutatif simplifiable a un plongement dans un groupe commutatif (ce qui n'est pas très facile à montrer).

Actions particulières

Un élément x d'un M-ensemble X sera dit régulier s'il est libre et générateur. Cela signifie que le M-morphisme ⋅⃖x est à la fois injectif et surjectif, donc un M-isomorphisme de M vers X. L'élément neutre de M est régulier pour l'action naturelle de M sur lui-même.
Qualifions par là l'action elle-même : un M-ensemble) sera dit monogène si elle est une trajectoire (engendrée par un singleton) et régulière si elle est a un élément régulier.

Si un M-ensemble est monogène et engendré par l'ensemble de ses éléments libres alors il est régulier (il existe un élément libre qui l'engendre).
Preuve : un générateur étant dans l'ensemble engendré par celui des éléments libres, doit être dans la trajectoire de l'un d'eux, qui est alors lui-même générateur.∎
(Une action monogénique d'un monoïde peut avoir des éléments libres sans être engendrée par eux; mais si une action monogène d'un groupe a un élément libre alors tous ses éléments sont libres).

La trajectoire Y d'un élément x d'un M-ensemble X est M-stable, et donc un M-ensemble. Il est engendré par x, et le reste en remplaçant le language M par son image comme monoïde de transformations N ⊂ YY.
Puis si N est commutatif (ce qui est le cas si M est commutatif) alors x est libre pour l'action de N (donc Y est un N-ensemble régulier). La preuve est facile et laissée en exercice.

Une action d'un groupe G sur un ensemble X, est de façon équivalente une action de monoïde, ou un morphisme de groupe de G vers 𝔖X.
L'inversion étant un anti-morphisme, change toute action à gauche ⋅ de G sur X en action à droite ▪ par ∀x∈X, ∀g∈G, x▪g = g-1⋅x.
Si une action de groupe est monogène alors tout élément est générateur; s'il est régulier, alors tout élément est régulier.

La correspondance de Galois (Aut, sInv)

Pour tout ensemble E, la relation de forte préservation entre son ensemble RelE de relations et son ensemble 𝔖E de permutations, défininit une correspondance de Galois (Aut, sInv) semblable à (End, Inv), où sInv donne l'ensemble des invariants forts :

∀P⊂𝔖E, sInv P = Inv (P ∪ -P) = Inv (P) ∩ Inv(-P) ⊂ RelE
∀L⊂RelE, ∀P⊂ 𝔖E, L ⊂ sInv P ⇔ P ⊂ AutL E.

Pour tout groupe de permutations G, sInv G = Inv G. La définabilité sans paramètres implique l'invariance par automorphismes, comme sera expliqué en 4.10.

Isomorphismes

Un isomorphisme entre objets E et F dans une catégorie quelconque, est un morphisme inversible :

Iso(E,F) = {f∈Mor(E,F) | ∃g∈Mor(F,E), g∘f = 1E ∧ f∘g = 1F)}

Ce g est unique, appelé l'inverse de f et noté f -1.

Un groupoïde est une catégorie où tous les morphismes sont inversibles. Les groupes sont les groupoïdes avec un seul objet, et le monoïde des endomorphismes de tout objet d'un groupoïde est un groupe.
Généralisant du cas des monoïdes, le coeur d'une catégorie est le groupoïde avec les mêmes objets et n'acceptant que les isomorphismes comme morphismes.
Un automorphisme d'un objet E, est un isomorphisme de E sur lui-même. Leur ensemble Aut(E), coeur de End(E), est un groupe appelé le groupe d'automorphismes de E.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre
4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry

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