1.5. Expresiones y estructuras definibles

Terminos y formulas

Dadas las dos primeras capas de una teoria (una lista de tipos y una lengua), una expresion es un sistema finito de ocurrencias de simbolos, que va a definir un valor para todos los posibles datos de un modelo (sistema que interpreta los tipos dados y simbolos de la estructura, ignorando los axiomas) y de una interpretacion de las variables libres que contiene (sus valores en el modelo).
Cualquier expresion es o bien un termino o bien una formula: los valores de los terminos van a ser objetos, mientras que las formulas tendran valores booleanos.
Una expresion basica es una expresion sin variables libres (todas sus variables son ligadas) de manera que su valor solo depende del modelo. Los axiomas de una teoria se eligen entre sus formulas basicas.

Vamos a describir la caracteristica general de las expresiones (que seran formalizadas en la parte 3).

Una ocurrencia de un simbolo en una expresion es un lugar donde esta escrito, por ejemplo, «x + x» tiene dos ocurrencias de x y uno de +. Las expresiones pueden utilizar los simbolos de los siguientes tipos.

  • Conectadores (1.8.): Los unicos en la logica de primer orden son los dos cuantificadores (? y ?, ver 1.9.), pero nuestra teoria de conjuntos tendran mas.
  • Las expresiones estan construidas sucesivamente. Las primeras y las mas simples estan hechas de un solo simbolo que ya tiene un valor por si mismo: constantes y variables son los primeros terminos; las constantes booleanas 1 y 0 son las formulas mas simples.
    Las siguientes expresiones estan construidas sucesivamente de una manera hecha de los siguientes datos: La raiz determina el tipo de valores (por eso decide si la expresion es una formula o un termino) y el formato de la lista (el numero y tipo de entradas). Para los simbolos para-operadores este formato esta dado por la lista de argumentos.
    La lista estaba vacia para las constantes que, como las raices, ha formado expresiones sola. Otros para-operadores y conectadores necesitan que una lista no este vacia, lo que requiere una eleccion de la convencion reflejada: Parentesis tambien pueden ser utilizados, para cada expresion o subexpresion, para distinguir la raiz separando subexpresiones, como en (x+y)n.

    Estructuras variables

    Solo unos pocos objetos generalmente se nombran por los simbolos constantes en un lenguaje dado. Cualquier otro objeto puede llamarse por otro simbolo, fuera de este lenguaje: una variable fija. Esto puede ser interpretado de una manera diferente dependiendo de la teoria en la que consideramos estar:

    Tratando de generalizar esto, desde los objetos simples (identificables con todas las operaciones nularias que pueden existir entre los tipos interpretados), a otras estructuras (con aridad desigual a cero), obtenemos el concepto de un simbolo de la estructura de la variable, pero esto escapa a la lista anterior de simbolos permitidos en las expresiones. Por lo tanto, el estado para expresiones usando tal simbolo ahora tiene que ser eligido entre

    Como una teoria en la logica de primer orden no puede manejar el rango completo de una estructura variable con aridad no igual a cero (excepto todo el rango de argumentos sobre los conjuntos finitos), entonces no puede expresar todas las propiedades de este rango. Todavia algunas propiedades pueden ser conocidas como aparecen: si una formula con un simbolo de estructura variable (no definida) esta demostrada formalmente, entonces es cierta para todas las estructuras que podria significar, independientemente de que «se pueden encontrar» o no. Este concepto de la verdad universal probable sera utilizado como una regla de la demostracion para las variables ordinarias (el principio de Introduccion Universal en 1.9) y en la formulacion del principio de la generacion del conjunto (1.11).

    Estructuras definidas por las expresiones

    Cualquier teoria puede producir estructuras (operadores o predicados, mas alla de los nombrados directamente en el lenguaje), como las operaciones entre los tipos interpretados, definidos por los siguientes datos: Los operadores nularios (objetos simples) estan «difinidos» de esta manera por el termino hecho de un simbolo variable visto como un parametro. En una formalizacion de la teoria de conjuntos, cualquier funcion f es sinonima con el funtor definido por el termino «f(x)» con el argumento x y el parametro f.

    Podemos aceptar como un trabajo legitimo dentro de la teoria, para nombrar tal estructura por un simbolo de la estructura variable, entendida como una abreviatura de la expresion con sus parametros. Como la variabilidad del simbolo abrevia uno de los parametros, esta estructura variable puede ser ligada en la teoria recoriendo todas las estructuras definidas por una expresion comun con todos los posibles valores de sus parametros: esto solo abrevia el acto de la coneccion de estos parametros.

    Podemos fijar la nocion de la estructura en la teoria de un modelo, como hecho de todas las estructuras que pueden ser alcanzadas de esa forma, definidas por cualquier expresion con cualquieres valores posibles de los parametros. Como esto implica el conjunto infinito de todas las expresiones, esto quita las habilidades de la teoria estudiada (que solo puede usar una expresion al mismo tiempo) y solo es accesible por el marco de la teoria de un modelo con su meta-nocion de expresion. Hasta esto aun no significa acabar el rango de todas las operaciones (entre los tipos interpretados) que puedan existir en el universo, porque alli pueden haber estructuras indefinibles.

    Estructuras invariantes

    Una estructura invariante para una teoria es una estructura definida sin parametros (por eso constante). Cualquier estructura llamada por un simbolo en el lenguaje de una teoria esta directamente definida sin parametro, y por lo tanto invariante para esta teoria. Esta distincion de las estructuras invariantes de otras estructuras generaliza la diferencia entre constantes y variables, ambas al caso de la aridad desigual a cero y para lo que es indirectamente expresable por la teoria en vez de directamente nombrado en su lenguaje.
    Las estructuras invariantes todavia no puden llamarse en el lenguaje por los nuevos simbolos para anadirse alli, preservando el sentido profundo de la teoria (meta-nociones de la estructura, la estructura invariante, demostrabilidad...). Tales reglas para desarrollar una teoria seran discutidas en la Parte 3.

    La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas
    1. Primeros fundamentos de matemática
    1.1. Introducción a los fundamentos de matemática
    1.2. Variables, conjuntos, funciones y operaciones
    1.3. Forma de teorías: nociones, objetos, meta-objetos
    1.4. Estructuras de los sistemas matemátios
    1.5. Expresiones y estructuras definibles
    1.6. Conectivas lógicas
    1.7. Clases en la teoría de conjuntos
    1.8. Símbolos ligados en la teoría de conjuntos
    1.9. Cuantificadores
    1.10. Formalización de la teoría de conjuntos
    1.11. El principio de generación de conjunto
    Los aspectos filosóficos
    Tiempo en la teoría del modelo
    Tiempo en la teoría de conjuntos
    Interpretación de clases
    Conceptos de verdad en matemáticas
    2. La teoría de conjuntos (continuación) 3. La teoría del modelo

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