1.5. Expresiones y estructuras definibles
Terminos y formulas
Dadas las dos primeras capas de una teoria (una lista de tipos y una
lengua), una expresion es un sistema finito de ocurrencias de
simbolos, que va a definir un valor para todos los posibles
datos de un modelo (sistema que interpreta los tipos dados
y simbolos de la estructura, ignorando los axiomas) y de una interpretacion
de las variables libres que contiene (sus valores en el modelo).
Cualquier expresion es o bien un termino o bien una formula:
los valores de los terminos van a ser objetos, mientras que las
formulas tendran valores booleanos.
Una expresion basica es una expresion sin variables libres (todas sus
variables son ligadas) de manera que su valor solo depende del modelo.
Los axiomas de una teoria se eligen entre sus formulas basicas.
Vamos a describir la caracteristica general de las expresiones
(que seran formalizadas en la parte 3).
Una ocurrencia de un simbolo en una expresion es un lugar donde esta
escrito, por ejemplo, «x + x» tiene dos ocurrencias de x y uno de +.
Las expresiones pueden utilizar los simbolos de los siguientes tipos.
- Simbolos de estructura (operadores y predicados, del lenguaje);
- Un simbolo de la igualdad por el tipo
(predicado con 2 argumentos del mismo tipo) abusivamente
todas escritas como = e interpretado de una forma estandar;
- Conectores logicos;
Conectadores (1.8.): Los unicos en la logica de primer orden son los dos cuantificadores (? y ?, ver 1.9.), pero nuestra teoria de conjuntos tendran mas.
Las expresiones estan construidas sucesivamente. Las primeras y las
mas simples estan hechas de un solo simbolo que ya tiene un valor por si
mismo: constantes y variables son los primeros terminos; las constantes
booleanas 1 y 0 son las formulas mas simples.
Las siguientes expresiones estan construidas sucesivamente de una manera
hecha de los siguientes datos:
- Una eleccion distinguida (ocurrencia) de un simbolo (un para-operador o un conectador) llamada la raiz de la expresion;
- Uno o mas simbolos de variables (a conectaar) si la raiz es un conectador;
- Una lista de ocurrencias de expresiones construidas anteriormente.
La raiz determina el tipo de valores (por eso decide si la expresion
es una formula o un termino) y el formato de la lista (el numero y tipo
de entradas). Para los simbolos para-operadores este formato esta dado
por la lista de argumentos.
La lista estaba vacia para las constantes que, como las raices,
ha formado expresiones sola. Otros para-operadores y conectadores
necesitan que una lista no este vacia, lo que requiere una eleccion de
la convencion reflejada:
- La mayoria de los simbolos para-operadores binarios se muestran como un caracter entre ambos argumentos, como x + y
- Los simbolos con aridades mas altas pueden mostrarse de manera similar por varios caracteres que delimitan las entradas.
- La reflexion parecida a funciones, como + (x, y), son mas habituales para las aridades distintas de 2.
- Pocos simbolos «aparecen» solo por su manera especial de poner sus argumentos juntos (multiplicacion, exponenciacion).
- Parentesis puede ser parte de la notacion de un simbolo (funcion evaluador, tuplas ...).
Parentesis tambien pueden ser utilizados, para cada expresion o
subexpresion, para distinguir la raiz separando subexpresiones,
como en (x+y)n.
Estructuras variables
Solo unos pocos objetos generalmente se nombran por los simbolos constantes
en un lenguaje dado. Cualquier otro objeto puede llamarse por otro simbolo,
fuera de este lenguaje: una variable fija. Esto puede ser interpretado de una
manera diferente dependiendo de la teoria en la que consideramos estar:
- Como un simbolo simple de una variable (permitido en las
expresiones aunque no «en el lenguaje» de la teoria): podemos
formar una expresion en la teoria sobre todos los objetos de un
tipo, usando y conectando esta variable.
- Como un nuevo simbolo constante, anadido al lenguaje, con un nombre
especifico para un valor especifico: obtenemos un lenguaje mas
rico, para otra teoria. Los diferentes valores posibles se ven
como correspondientes a diferentes modelos.
Tratando de generalizar esto, desde los objetos simples (identificables
con todas las operaciones nularias que pueden existir entre los tipos
interpretados), a otras estructuras (con aridad desigual a cero), obtenemos
el concepto de un simbolo de la estructura de la variable, pero esto
escapa a la lista anterior de simbolos permitidos en las expresiones.
Por lo tanto, el estado para expresiones usando tal simbolo ahora
tiene que ser eligido entre
- Un marco logico extendido que acepta los simbolos estructurados
variables (como la logica de segundo orden, ver parte 3);
- De nuevo, una teoria extendida donde este simbolo esta anadido
al lenguaje.
- Un fin especial: definiciones de los conectadores (1.11)
Como una teoria en la logica de primer orden no puede manejar el rango
completo de una estructura variable con aridad no igual a cero
(excepto todo el rango de argumentos sobre los conjuntos finitos), entonces
no puede expresar todas las propiedades de este rango. Todavia algunas
propiedades pueden ser conocidas como aparecen: si una formula con
un simbolo de estructura variable (no definida) esta demostrada
formalmente, entonces es cierta para todas las estructuras que podria
significar, independientemente de que «se pueden encontrar» o no.
Este concepto de la verdad universal probable sera utilizado como una
regla de la demostracion para las variables ordinarias (el principio de
Introduccion Universal en 1.9) y en la formulacion del principio
de la generacion del conjunto (1.11).
Estructuras definidas por las expresiones
Cualquier teoria puede producir estructuras (operadores o predicados, mas
alla de los nombrados directamente en el lenguaje), como las
operaciones entre los tipos interpretados, definidos por los siguientes datos:
- Una expresion (los operadores estan definidos por terminos, mientras
que los predicados estan definidos por las formulas);
- Una lista de algunas de sus variables libres (quizas no todas
utilizadas) para estar conectadas por esas definiciones en el
papel de los argumentos de la estructura prevista; otras variables
libres se llaman parametros;
- Los valores fijos de los parametros.
Los operadores nularios (objetos simples) estan «difinidos» de esta
manera por el termino hecho de un simbolo variable visto como un parametro.
En una formalizacion de la teoria de conjuntos, cualquier funcion f
es sinonima con el funtor definido por el termino «f(x)» con el argumento
x y el parametro f.
Podemos aceptar como un trabajo legitimo dentro de la teoria, para nombrar
tal estructura por un simbolo de la estructura variable, entendida como
una abreviatura de la expresion con sus parametros. Como la variabilidad
del simbolo abrevia uno de los parametros, esta estructura variable puede
ser ligada en la teoria recoriendo todas las estructuras definidas por
una expresion comun con todos los posibles valores de sus parametros:
esto solo abrevia el acto de la coneccion de estos parametros.
Podemos fijar la nocion de la estructura en la teoria de un modelo, como
hecho de todas las estructuras que pueden ser alcanzadas de esa forma,
definidas por cualquier expresion con cualquieres valores posibles
de los parametros. Como esto implica el conjunto infinito de todas las
expresiones, esto quita las habilidades de la teoria estudiada
(que solo puede usar una expresion al mismo tiempo) y solo es
accesible por el marco de la teoria de un modelo con su meta-nocion
de expresion. Hasta esto aun no significa acabar el rango de todas las
operaciones (entre los tipos interpretados) que puedan existir en el
universo, porque alli pueden haber estructuras indefinibles.
Estructuras invariantes
Una estructura invariante para una teoria es una estructura definida
sin parametros (por eso constante). Cualquier estructura llamada por
un simbolo en el lenguaje de una teoria esta directamente definida sin
parametro, y por lo tanto invariante para esta teoria. Esta distincion
de las estructuras invariantes de otras estructuras generaliza la diferencia
entre constantes y variables, ambas al caso de la aridad desigual a cero
y para lo que es indirectamente expresable por la teoria en vez de
directamente nombrado en su lenguaje.
Las estructuras invariantes todavia no puden llamarse en el lenguaje por los
nuevos simbolos para anadirse alli, preservando el sentido profundo de la
teoria (meta-nociones de la estructura, la estructura invariante,
demostrabilidad...). Tales reglas para desarrollar una teoria seran discutidas
en la Parte 3.
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FR : 1.5. Expressions
et structures définissables