1.8. Símbolos ligados en la teoría de conjuntos

La sintaxis de los símbolos ligados

El último tipo de expresiones que forman los símbolos son los símbolos ligados (símbolos de unión).
Tal símbolo une una (o más) variable(s) (digamos x), en una expresión F que puede usar x como una variable libre en adición a las variables libres que están disponibles (con un valor) fuera. Por lo tanto, se separa la subexpresión «interior» F usando x como libre del «exterior», donde x es una variable ligada. Aplicado a los datos del símbolo x y la expresión F, se da un valor que depende de la estructura urinaria definida por F con el argumento x (pero no puede en general dar una imagen completa y leal de esta estructura unaria, que puede ser demasiado compleja para ser totalmente grabada como un mero objeto).
La sintaxis de la teoría de conjuntos y las teorías genéricas tienen mucha diferencia, que gestionan el rango de una manera diferente. En las teorías genéricas, los rangos son tipos, los datos implícitos de cuantificadores. Pero los símbolos ligados de la teoría de conjuntos hacen su rango variable sobre un conjunto que es un objeto designado por un argumento adicional (un espacio para un término que no utiliza la variable ligada).

Una expresión es fundamental si todas sus variables son ligadas (sus ocurrencias están contenidas por los símbolos ligados).

Vamos a repasar los símbolos ligados principales en la teoría de conjuntos.

Las definiciones de las funciones por términos

El definidor de la función (∋ ↦) conecta una variable al término, siguiendo la sintaxis (Ext (x)), donde x es la variable, E es su rango, y t(x) es el término (aquí abreviado como un predicado unario con los posibles parámetros implícitos); puede expresarse de una forma más corta como (xt(x)) cuando E es determinado por el contexto. Es definido si t(x) es definido para todo x en E; se toma después el functor definido por t y se restringe su clase de definitud a E, para darlo como una función con dominio E.
Entonces esto convierte a los functores en las funciones, haciendo el reverso de la acción del evaluador de una función que ha convertido las funciones en su papel (significado) como functores, cuyos clases de definitud eran los conjuntos. Esto pone los functores en una única forma (los que sólo eran accesibles de una manera indirecta para ser usados como funciones por su termino definido que podría tener la complejidad ilimitada) como un único tipo de objetos.
En 1.10 vamos a formalizar esa herramienta y ver verla como un caso particular de un principio más general para teoría de conjuntos.

Las relaciones y el símbolo constructor de conjuntos

Una relación es un objeto parecido a una operación, pero con valores booleanos: actúa como un predicado cuyos argumentos recorren sobre los conjuntos. Pero esto no necesita ser introducido como otro tipo de objetos, ya que los conjuntos serán suficientes para desempeñar estos papeles.
Para cualquier predicado unario A definido en un conjunto E, la subclase de E definida por A es un conjunto (rango de una variable x que se introduce para recorrer E, de modo que pueda ser ligada, desde donde y seleccionamos los valores que satisfacen A(x)), por lo tanto un subconjunto de E, escrito {xE | A (x)} (conjunto de todas x en E tal que A(x)): para todo y,

y ∈ {xE | A(x)} ⇔ (yEA(y))

El símbolo ligado {∈ | }, se llama el constructor de conjuntos: {xE | A (x)} conecta x con el rango E en A. Se utilizará como un definidor de las relaciones unarias en E, que figuran como subconjuntos F de E, evaluados por ∈ como predicados (xF) con un argumento x. Pero estos predicados no son solamente definidos en E, pero en todo el universo, dando 0 fuera de E cuyos datos se pierden. Esta falta de operador Dom no importa, ya que el dominio E es generalmente determinado por el contexto.
Como el definidor de la función (respectivamente el constructor de conjuntos) registra toda la estructura definida por la expresión dada en el conjunto dado, es suficiente definir cualquier otro definidor en la misma expresión con el mismo dominio, como está hecho de una estructura unaria aplicada a su resultado (que es una función, respectivamente un conjunto).

Paradoja de Russell

Por supuesto, si la clase de todos los objetos fuera un conjunto, entonces el el constructor de conjuntos podría utilizarla para también convertir todas las clases en conjuntos. Pero esto no es posible: la clase de todos los conjuntos no puede ser un conjunto (ningún conjunto E nunca puede contener todos los conjuntos), como se puede demostrar utilizando el mismo constructor de conjuntos:

Teorema. Para cada conjunto E existe un conjunto F tal que FE.

Demostración. F={xE | Set(x) ∧ xx} ⇒ (FF ⇔ (FEFF)) ⇒ (FFFE). ∎

Eso nos va a obligar a guardar las distinciones entre los conjuntos y las clases.

La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas
1. Primeros fundamentos de matemática
1.1. Introducción a los fundamentos de matemática
1.2. Variables, conjuntos, funciones y operaciones
1.3. Forma de teorías: nociones, objetos, meta-objetos
1.4. Estructuras de los sistemas matemátios
1.5. Expresiones y estructuras definibles
1.6. Conectivas lógicas
1.7. Clases en la teoría de conjuntos
1.8. Símbolos ligados en la teoría de conjuntos
1.9. Cuantificadores
1.10. Formalización de la teoría de conjuntos
1.11. El principio de generación de conjunto
Los aspectos filosóficos
Tiempo en la teoría del modelo
Tiempo en la teoría de conjuntos
Interpretación de clases
Conceptos de verdad en matemáticas
2. La teoría de conjuntos (continuación) 3. La teoría del modelo

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