Los aspectos filosóficos de los fundamentos de las matemáticas
Para completar nuestra iniciación a los fundamentos de las matemáticas, las siguientes páginas de los complementos filosóficos (desde éste a los Conceptos de
veracidad en las matemáticas), presentarán una visión general de algunas de las características más profundas de los fundamentos de las matemáticas: sus
aspectos intuitivos y filosóficos (muchas de las que pueden entenderse de una forma implícita pero no bien explicada por los especialistas, porque tales
cuestiones filosóficas no se ven simplemente como propios objetos de los trabajos científicos). Esto incluye
- Cómo, mientras está independiente de nuestro tiempo, el universo de las matemáticas sigue siendo un asunto para un flujo de su propio tiempo;
- El significado profundo de la diferencia entre conjuntos y clases, en relación con dicho tiempo; entonces, la razón profunda para el uso de
los cuantificadores ligados en la teoría de conjuntos.
- La justificación del principio de la generación del conjunto
Estas cosas no son necesarios para la Parte 2 (Teoría de conjuntos, continuación), excepto para explicar el significado profundo y las consecuencias del hecho de
que la exponenciación del conjunto o el conjunto de potencia (2.6) no es justificable por el principio de la generación del conjunto. Pero se desarrollarán y
se justificarán más detalladamente en la Parte 3 (La Teoría del Modelo).
La representación intuitiva y la abstracción
Aunque los sistemas matemáticos «existen» independientemente de cualquier sensación particular, tenemos que representarlos de alguna manera (en palabras,
fórmulas o dibujos). Pueden utilizarse las diversas formas, que puede ser equivalente (dando los mismos resultados), pero con diversos grados de relevancia
(eficiencia) que pueden depender de los objetivos. Las ideas normalmente aparecen primero como más o menos intuiciones visuales, después se expresan como
fórmulas y oraciones literales para la comprobación atenta, tratamiento y comunicación. Para liberarse de los límites de una forma específica de la
representación, la forma es desarrollar otras formas de representación y ejercer la traducción de conceptos entre ellos. La aventura matemática en sí misma
está llena de obras de conversiones entre las formas de representación.
Platonismo vs formalismo
En esta diversidad de aproximaciones a las matemáticas (o cada teoría), dos vistas filosóficas son tradicionalmente distinguidas.
- La vista platónica view (también llamada idealistica) se centra en los mundos o sistemas a estudiar, vistos como las realidades preexistentes matemáticas para
ser exploradas (o recordadas, según Platón). Esta es la aproximación de la intuición que estudia el orden global de las cosas antes de formalizarlas.
- La vista formal se centra en el lenguaje, el rigor (reglas sintácticas) y los aspectos dinámicos de una teoría, empezando por su fundación
(expresión formal), y siguiendo las normas de desarrollo.
Los filósofos a menudo las representan como los sistemas opuestas, de creencias incompatibles, posible verdad sobre la naturaleza real de las matemáticas.
Sin embargo, ambas vistas al contrario se producen para ser aspectos necesarios y complementarios de los fundamentos de matemáticas. Vamos a explicar cómo.
Por supuesto, el pensamiento humano que no tiene capacidades infinitas, no puede funcionar completamente en cualquier forma realista, pero sólo de una manera
aproximadamente equivalente al razonamiento formal desarrollado en algunas fundaciones; este trabajo de formalización puede prevenir los posibles errores de
la intuición.
Pero, el punto de vista puramente formal tampoco puede sostenerse ya que
- La claridad y la autosuficiencia de cualquier fundamento posible (cualquier posición de inicio con las reglas formales de desarrollo), sigue siendo relativa:
cualquier punto de inicio tuvo que ser elegido más o menos de una forma arbitraria, tomado desde y motivado por una perspectiva más amplia sobre las realidades
matemáticas; tiene que definirse de alguna manera intuitiva, presumiblemente significativa, implícitamente admitiendo su propio fundamento, cualquier
intento de especificar lo último llevaría al lugar del regreso infinito, cuya preexistencia realista tendría que ser admitida.
- La mayoría de tiempo, los trabajos están sólo parcialmente formalizados: utilizamos las pruebas semi-formales, con el suficiente rigor para dar la sensación de
que la formalización completa es posible, aún no escrita completamente; una visión intuitiva del problema puede parecer más clara que un argumento formal.
Otra razón para su reconciliación, es que no están en ninguna discusión global para describir las matemáticas por lo general, pero sus acciones de relevancia
depende de las teorías específicas bajo consideración.
La forma de las teorías matemáticas
Los marcos lógicos útiles principales para las teorías matemáticas,
desde los más débiles (menos expresivos) a los más fuertes (más expresivos),
a excepción de la teoría de conjuntos, serán:
- Las teorías algebraicas;
- La lógica de primer orden;
- Las teorías de dualidad (que es un rango no preciso de las teorías con
algunas características comunes);
- La lógica de segundo orden;
- La lógica de orden superior;
Hemos descrito la forma general de las teorías matemáticas en los apartados
1.1, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.8, 1.9. para los dos marcos más importantes: la
lógica de primer orden y el marco de la teoría de conjuntos (que es específico,
con clases de definitud, y símbolos ligados que dependen de conjuntos).
La relación entre los dos escapa el orden jerárquico superior ya que tenemos las correspondencias
irreversibles entre ellos en ambas direcciones (no el inverso de uno del otro):
- Una inclusión natural de todas las teorías de primer orden en la teoría
de conjuntos, viendo sus posibles modelos como objetos en un modelo común
(universo) de la teoría de conjuntos (1.3, 1.4). Es una vista habitual
de las matemáticas ordinarias, que estudia muchos sistemas como "conjuntos
con relaciones u operaciones tales que ...", con posibles conexiones
entre ellos.
- Otro procedimiento (secciones 1.9, 1.10, con un interés más restringido
a los especialistas de la lógica matemática) convierte la teoría de conjuntos
en la lógica de primer orden.
Vamos a resumir nuestra descripción: una vez elegido un formalismo, una teoría
está especificada por su contenido (vocabulario y axiomas),como sigue.
Cada teoría incluye 3 tipos de componentes. Los últimos 2 tipos de componentes
son los sistemas finitos hechos de la clase anterior :
- Una lista de tipos, cuya traducción en la teoría de conjuntos son
los nombres de conjuntos. Por ejemplo, la geometría puede ser vista con 2
tipos: «puntos» y «líneas».
- Una lista de los símbolos estructurados. Estos símbolos se centran
en designar las estructuras, es decir las conexiones entre los objetos
con los tipos específicos. Ellos dan sus funciones a los objetos de cada tipo
en conección con los de otros tipos. En las teorías de primer orden, una
estructura es
- Una operaciónentre una lista de variables con los tipos
respectivamente especificados, (que se centran en especificar los
tipos de sus valores), con valores de tipo también especificado. El
número de argumentos de la operación se llama su aridad.
- Constantes son las operaciones nularias en esta lista (no tienen
ningún argumento).
- Una relación, que es una operación con un valor «verdadero» o «falso».
Además, las operaciones n-arias f pueden ser
vistas como las relaciones particulares (n+1)-arias
(y=f(x1,...,
xn)), lo verdadero para el único valor de y
para cualquier de los valores
x1,..., xn.
- La lista de axiomas. Cada axioma es una fórmula principal:
un sistema de ocurrencias de símbolos entre los símbolos de estructura,
la igualdad (=), las conectivas lógicas (1,6) y cuantificadores (∀and ∃, 1.9);
estas fórmulas tienen que ser ciertas cuando estos símbolos son interpretados
en un sistema dado.
Pero para tener algún interés a los mayores objetivos prácticos, una teoría
debería de ser tal que no se podría construir a partir de ella, cualquiera
de los cuatro tipos de componentes:
- Una contradicción de una teoría, es un sistema de fórmulas basado
en axiomas, formando una demostración de la fórmula 0 (Falso), ver 1.6.
La teoría realista vs la teoría axiomática en las matemáticas y otras ciencias
Las interpretaciones de la palabra «teoría» puede variar entre los usos matemáticos y no matemáticos (en el lenguaje ordinario y otras ciencias), de dos formas.
Las teorías pueden diferenciarse por su objeto y naturaleza:
- Las teorías matemáticas puras, son teorías matemáticas consideradas por el puro bien de la matemática, sin ningunas intenciones no matemáticas.
Al contrario, las teorías fuera de matemática, intentan a describir algunos sistemas reales (campos de observación, partes del mundo exterior, que no son
puramente los sistemas matemáticos). Ellos pueden ser de dos tipos:
- Las teorías matemáticas aplicadas son también las teorías matemáticas (es decir, expresada en formas estrictas), pero los sistemas matemáticos que describen se
consideran como idealizaciones de los aspectos de los sistemas dados del mundo real (ignorando otros aspectos); tanto como es exacto, esta idealización
(reducción a las matemáticas) también permite deducciones correctas en los márgenes de error aceptados.
- Las teorías no matemáticas describen los aspectos cualitativos (no-matemáticos) del mundo. Por ejemplo, las descripciones habituales de la química implican las
aproximaciones drásticas, coleccionando de las observaciones algunos efectos aparentemente arbitrarios cuya deducción de la física cuántica a menudo está fuera
del alcance de los cálculos directos.
Las teorías también pueden diferenciarse por lo que mejor describe su significado destinado: el Platonismo o el formalismo :
Una teoría realista tiene un objetivo de describir un sistema fijo dado de una realidad independiente, de modo que cualquiera de sus fórmulas principales
(declaraciones) será o bien definitivamente verdadera o bien definitivamente falsa como determina este sistema (pero la veracidad de la declaración no
matemática puede ser ambigua, es decir, mal definida para el sistema real dado). De esta intención, la teoría se va a construir al proporcionar una lista
inicial de fórmulas llamada axiomas : esta es la descripción esperadamente verdadera del sistema destinado como actualmente conocido o adivinado. Entonces, la
teoría será verdadera si todos sus axiomas son verdaderas en el sistema destinado. En este caso, sus consecuencias lógicas (teoremas, deducidas a partir de
axiomas) también serán ciertas en el modelo destinado.
Esto está generalmente bien asegurado en las matemáticas puras, pero puede ser especulativo en otros campos. En las teorías realistas fuera de la matemática
pura, la realidad destinada es generalmente un contingente entre las posibles alternativas, que (en matemáticas aplicadas) son igual de posibles desde un punto
de vista puramente matemático. Si una teoría (lista de axiomas) no se ajusta a una realidad específica que pura matemática no puede identificar, esto puede
esperadamente descubrirse comparando sus predicciones (consecuencias lógicas) con observaciones: la teoría se llama falsificable..
Una teoría axiomática es una teoría dada con una lista de axiomas que significa definir la selección de los modelos(sistemas que se describen), como el rango de todos los sistemas donde estos axiomas son verdaderos. Esto puede mantener
una diversidad ilimitada de los posibles modelos, que guardan las interpretaciones igualmente reales y legítimas. Según esta definición de lo que es un «modelo»,
la veracidad de los axiomas de la teoría es automática en cada modelo (se guarda por definición, y por eso no es cuestionable). Todos los teoremas (deducidos de
las axiomas) también son verdaderos en cada modelo.
En matemáticas puras, las características habituales de ambas funciones posibles de las teorías (realistas y axiomáticos) automáticamente las protegen del riesgo
a ser «falsas», siempre y cuando las reglas formales se respeten.
Las teorías no realisticas fuera de las matemáticas puras (donde el requisito de la veracidad de los teoremas no siempre es estricto, por lo que el concepto de
axioma pierde precisión) pueden tanto describir clases de sistemas reales, como ser obras de ficción describiendo los sistemas futuros imaginarios o posibles.
Pero esta distinción entre sistemas reales e imaginarios no existe en matemática pura, en donde todos los posibles sistemas son igual de reales. Por lo tanto,
las teorías axiomáticas de las matemáticas puras toman como objetivo describir la realidad matemática que es existente (si la teoría es consistente), pero en general no es única.
Los modelos diferentes pueden ser no equivalentes, en el sentido de que las fórmulas indecidibles pueden ser verdaderas o falsas dependiendo del modelo.
Diferentes teorías consistentes pueden «no estar de acuerdo» sin conflicto, por ser todas verdaderas descripciones de los sistemas diferentes, que pueden
«existir» igualmente en un sentido matemático sin ningún problema de «donde se encuentran».
Por ejemplo la geometría euclidiana, en el papel de la primera teoría física está, pero sólo una en una base de diversas geometrías que son igualmente
legítimas para las matemáticas, y el espacio físico real está descrito de una forma más exacta por la geometría no euclidiana de la Relatividad General.
Igualmente, la biología es relativa a un gran número de opciones aleatorias en silencio acumuladas por la Naturaleza en la Tierra durante billones de años.
Las teorías realisticas y axiomáticas aparecen en la matemática pura, en las partes diferentes de los fundamentos de las matemáticas, como se presentará en la
sección sobre los conceptos verdaderos en las matemáticas.
Pero primero expliquemos la presencia de un flujo puramente matemático de tiempo (independiente de nuestro tiempo) en la teoría de modelos y la teoría de conjuntos.
Una vez leido el apartado 1.5, continúe con El tiempo en la teoría de modelos:
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