Tiempo en la teoría de conjuntos
La expansión del universo conjunto-teórico
Dados dos universos U⊂U', el universo U se llamará estándar en U', o un sub-universo de U',
si su interpretación de las estructuras conjunto-teóricas (valores que se dan para
todos los valores de argumentos dentro de U) coincide con su meta-interpretación (la
de U'). Precisamente, vamos a requerir la preservación de los siguientes datos:
- El contenido de cada conjunto (cada conjunto coincide con el meta-conjunto de
los mismos elementos): no sólo ∈ está conservado, pero cada conjunto en U es
interpretado por U' como está incluido en U (esto no es una consecuencia directa:
si no se requiere que el sub-universo sea un conjunto o una clase, un
contraejemplo se daría por la teoría de conjuntos interna).
- El evaluador de funciones y el funtor de dominios (1.4)
- El definidor de funciones y el constructor de conjuntos
(1.8, traducido como listas infinitas
de símbolos de operador en lógica de primer orden en 1.10 y 1.11);
- El conjunto de potencia (introducido en 2.5).
- Por lo tanto también, cualquier otra estructura definida de la anterior por
expresiones y fórmulas ligadas, tal como finitud (definible del
conjunto de potencia): la parte 3 mostrará la existencia de universos no
estándar con una interpretación diferente de la finitud, por lo tanto teniendo como
«conjunto de enteros» un modelo no estándar de aritmética.
Por lo tanto, como estructuras en U' son fijos, U sólo tiene que ser
especificada como un meta-subconjunto o clase en U'. Vamos a llamarla un pequeño
sub-universo si un conjunto (U∈U') es más preciso.
Si tenemos 3 universos U ⊂ U' ⊂ U"
donde U' es estándar en U", entonces tenemos la equivalencia:
(U es estándar en U') ⇔ (U
es estándar en U").
Por lo tanto, la idea de considerar la estandarización de un universo como una propiedad
absoluta, independiente del universo externo en el que está descrita... en caso de que
este universo externo es estándar. Esto no
define formalmente la estandarización como un concepto absoluto (lo que es
imposible), pero dice que tal concepto puede tener el sentido ideal.
Vamos a llamar el multiverso estándar a cualquier colección (rango)
de universos estándar, donde cualquier 2 de ellos son pequeños sub-universos
de un tercero. Digamos que el universo conjunto-teórico se expande
cuando recorre sobre un multiverso estándar.
Desde cualquier multiverso estándar M, podemos reconstruir un universo
externo que contiene todos sus universos, definidos como su unión
U=⋃M, donde todos son estándar. De hecho, cualquier expresión
con variables libres en U toma su significado de al menos una
U∈M conteniendo los valores de todos sus variables, y
por lo tanto donde las expresiones pueden ser interpretadas. Esta
U es todavía otro universo estándar específico, pero no puede
pertenecer a M, como su presencia podría contradicir
el concepto de multiverso que no admite ningún elemento más grande. Entonces,
ningún multiverso estándar solo no puede contener todos los universos posibles estándar.
Podemos entender el sentido previsto de la teoría de conjuntos como de un tipo diferente
que el de las teorías genéricas, de esta forma:
- Las interpretaciones de la teoría genérica requieren para fijar un modelo, en el
que sus variables y expresiones pueden tomar valores;
- La teoría de conjuntos se fija en dar localmente a sus expresiones con los valore fijos
de las variables libres su interpretación
estándar, independientemente de un universo estándar que los contiene, que
puede seguir amliando.
A diferencia de los universos estándar, no todos los universos no estándar serán
pequeños sub-universos de algún universo más grande existente (no
estándar), en el sentido de que las extensiones pueden fallar al preservar
el conjunto de potencia. Podemos también tener un multiverso de universos no estándar
que parecen un multiverso estándar (cuyos miembros son pequeños sub-universos entre ellos), pero
donde a diferencia de sus miembros, su unión U (con las mismas
estructuras, dejando a estos universos aparecer de una forma estándar), deja de ser un
buen universo, ya que ya no satisface el esquema del axioma de la
especificación (en el sentido de permitir abrir cuantificadores):
puede haber un conjunto E∈U y una fórmula A tal que
{x∈E|∀U y,
A(x,y)}∉U.
Dos universos se llamarán compatibles si ambos pueden ser vistos como
sub-universos de un universo común mas amplio. Todos los universos estándar
son compatibles entre sí. Entonces cuando 2 universos son incompatibles, al
menos uno de ellos no es estándar; pueden ser las dos partes de un universo
común más amplio, sólo representando al menos uno de ellos como no estándar.
Puede un conjunto contener a sí mismo?
Vamos a llamar reflexivo a un conjunto si contiene a sí mismo.
Por la demostración de la paradoja de Russel [1.8], la clase
(Set(x) ∧ x
∉ x) de los conjuntos no reflexivos, no puede coincidir con un subconjunto F
de cualquier conjunto E, ya que F sería entonces un conjunto no reflexivo
fuera de E, dando una contradicción. Pero pueden existir los conjunto reflexivos? esto es indecidible; aquí vemos por qué.
De un universo que contiene los conjuntos reflexivos, sólo podemos eliminarlos
todos: estos conjuntos no pueden ser reconstruidos de los
datos de sus elementos (porque cada uno tiene por lo menos un elemento
eliminado del universo, es decir, a sí mismo), pero para el resto para aún formar
un universo (modelo de la teoría de conjuntos), necesitamos manejar el caso
de todos los demás conjuntos que contenía uno (y de manera similar con
funciones):
- O bien reducirlas a elementos puros
- O bien eliminarlas también (y así sucesivamente para otros conjuntos
que contenían el último).
Otra forma es reconstruir progresivamente el universo evitandolos al mismo
tiempo: cada conjunto aparece en algún momento, formado como una
colección de objetos previamente aceptados o formados. Cualquier conjunto
formado de esta forma, debe tener un primer tiempo de llegada: podía
no ser disponible aún al llegar por primera vez como una colección de objetos ya
disponibles, por lo tanto no puede ser reflexivo.
Como la reflexividad de un conjunto es independiente del contexto, una unión
de universos libres de conjuntos reflexivos, no puede contener uno o.
Por otro lado, los universos con los conjuntos reflexivos
pueden crearse como sigue:
Pregunta. Cuál es la diferencia entre
- un universo con puro elemento x y un conjunto y
tal que x ∈ y ∧ y ∉ y,
- y un universo con un conjunto x y un elemento puro y
tal que x ∈ x ∧ y ∉ x ?
Respuesta: el papel de conjunto que contiene x pero no y,
interpretado por y en el universo anterior, se interpreta por x
en el último.
La ausencia de conjuntos reflexivos, es un caso especial del axioma de la
fundación (o regularidad), al que los argumentos anteriores de indecidibilidad,
se extenderán naturalmente. Su formulación va a basarse en el concepto de
relación bien fundada, lo que seguirá el estudio detallado de las conexiones
de Galois. Pero este axioma es tan inútil como los conjuntos que excluye.
El sentido relativo de los cuantificadores abiertos
Cuando el universo se expande, los valores de las declaraciones
(fórmulas de primer orden que admiten los cuantificadores abiertos) pueden cambiarse.
Por supuesto, si una declaración es formalmente demostrable de los axiomas
dados entonces sigue siendo cierto en todos los universos que
satisfacen estos axiomas; del mismo modo si es refutable (es decir, su
negación es demostrable, por lo tanto es falso en todos los universos).
Pero la teoría de conjuntos no da sentido (un valor booleano) a las declaraciones fundamentales
indecidibles, y las similares declaraciones no fundamentales (con
cuantificadores abiertos y los valores dados de variables libres), ya que
cualquier valor dado sería relacionado con cómo van las cosas «aquí y
ahora» : si una declaración universal (∀x, A(x) para una fórmula ligada A)
es cierta «aquí», podría todavía convertirse en falsa (un x donde A es
falso podría ser encontrado) «en otra parte».
Pero si el valor de una declaración indefinida es relativo a cómo van las cosas
«aquí», entonces la variabilidad actual de este valor entre lugares (para
motivar su estatus de indefinición) permanace relativa a cómo
salen las cosas para ir «en otro lugar». Es decir, es relativo a un
rango dado de los posibles «lugares» coexistentes (universos) donde
la declaración puede ser interpretada, que es un multiverso. Pero para
coexistir, estos universos necesitan el marco de un universo común más amplio U
que los contiene todos. En realidad, los simples datos de U es suficiente para definir
esencialmente un multiverso como lo de «todos los universos contenidos en U».
O más bien, 2 multiversos, que dependen de si admitimos todos los universos
que contiene, o sólo los estándares.
Un multiverso estándar, como se define antes.
Allí, la variabilidad de una declaración existencial
(∃x, A(x))
para una fórmula ligada A, significa la existencia de los universos
U, U' ⊂U tales que ∀x∈U,
¬A(x) pero ∃x∈U', A(x).
Es decir, A(x) sólo se guarda en algunos x fuera de
U. Podemos recibir U' tal que U∈U'
tomando cualquier universo que contiene los dos: U y el anterior U'.
En particular, (∃x, A(x)) es también verdadero en U
(podemos llamar esa afirmación «finalmente verdadera»). Intuitivamente, los
x donde A es verdadero están fuera de alcanzamiento de la teoría : no
pueden ser formalmente expresadas por los terminos, y su existencia no se puede
deducirse de los axiomas de existencia dadas (satisfechas por U).
Pero desde que (∃x, A(x))no fue definitivamente
verdadero para el universo inicialmente considerado U actualmente
desconocido y en expansión, sus posibilidades
pueden ser pocas para convertirse definitivamente verdadero para U
que es sólo otro universo descrito axiomáticamente, que es desconocido.
Por lo tanto, cuando una afirmación fijada en U es indefinida, puede
variarse cuando U se expande, pero también puede ser que la misma
pregunta varía (que se puede traducir como una pregunta sobre U),
permanece como una cuestión indefinida.
Sólo más verdades pueden ser determinadas para U que para U
dando más axiomas a describir U que hemos dado para U.
El teorema de incompletitud va a implicar que una formalización de esta
descripción de U (como la unión de un multiverso estándar, cuyos
universos satisfacen los axiomas dados) ya es una axiomatización más fuerte,
pero también que ni esta ni ninguna otra teoría axiomática intentando a describir
U (como algun tipo de un último universo estándar), siempre puede decidir
(probar o refutar) todas las declaraciones principales en U; en particular, la
cuestión de la variabilidad de una declaración principal en la U en expansión
tampoco puede ser siempre decidida.
Un multiverso de «todos los universos», no importa si son estándar o no.
El teorema de completitud mostrará que para cualquier teoría genérica,
la interpretación de la indefinición de una fórmula principal como la
variabilidad de su valor booleano en este multiverso, coincide con su
indecisión formal. Pueden ocurrir cosas extrañas allí con indecidible
(∃x,A(x)), ya que los universos en los que es verdadero
y aquellos en los que es falso pueden ser incompatibles:
- Un universo U donde es verdadero podría no contener ninguno de los
donde es falso como un sub-universo : {x∈U|
¬A(x)} puede no tener ningún meta-subconjunto que se comporta
como un buen universo;
- Un universo donde es falso podría no ser un pequeño sub-universo
de cualquier otro donde es cierto.
-
- Podría ser sólo verdadero en los universos no estándar.
Intuitivamente, los diferentes universos posibles con diferentes propiedades
no necesariamente "siguen unos a otros" en el tiempo, pero pueden pertenecer
a las vías de crecimiento separadas e incompatibles, algunas de las que
pueden considerarse más realistas que otras.
Entonces, mientras que la indecidibilidad formal de una declaración principal la
hace automáticamente variable en cualquier "multiverso de todos los universos",
esto todavía no dice cómo va a los multiversos estándar. En conclusión, la
indefinición de las declaraciones sólo tendría que ser tratada por la evitación,
como una mera expresión de la ignorancia al rango de los universos aceptables,
parcialmente seleccionados por axiomas, donde pueden ser interpretados.
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