Quantificadores lógicos

1.9. Quantificadores

Un cuantificador es un elemento ligado que toma un predicado unario (una formula) y devuelve un valor booleano.
En la teoría de conjuntos la sintaxis completa para un cuantificador Q que conecta una variable x con el rango E en un predicado unario A es

Qx ∈ E, A(x)

donde A(x) abrevia la formula definiendo A, cuyas variables libres son x y los posibles parámetros.
Una notación más corta pone el dominio como un índice (Q_Ex, A(x)), o elimina todo (Qx, A(x)) cuando puede guardarse de una manera implícita (sin importancia, o fijada por el contexto, tal como un tipo en una teoría genérica).
Los dos cuantificadores principales (de los que otros se definirán más tarde) son:

El cuantificador existensional ∃ se lee como «Existe una x (en...) tal que ...»
El cuantificador universal ∀, se lee como «Para todo x (en...), ...»).

Su interpretación puede definirse en un marco conjunto-teórico considerando A como una función, y tratando sus valores booleanos como objetos:

(∀x, A(x)) ⇔ A = (x ↦ 1)
(∃x, A(x)) ⇔ A ≠ (x ↦ 0)
(∀x, A(x)) ⇎ (∃x, ¬A(x))

En la teoría de conjuntos, (∀x∈E, A(x)) ⇔ {x∈E | A(x)} = E. La fórmula (∀x,1) siempre es cierta. Con las clases,

(∃_C x, A(x))
(∀_C x, A(x))
∀x, (C(x)

⇔ (∃x, C(x) ∧ A(x)) ⇔ ∃_C∧A x, 1
⇔ (∀x, C(x) ⇒ A(x))
⇔ (∃_C y, x=y))

La inclusión entre clases

Una clase A está incluida en una clase B cuando ∀x, A(x) ⇒ B(x). Entonces A es una subclase de B, ya que ∀x, A(x) ⇔ (B(x) ∧ A(x)). Al revés, cualquier subclase de B está incluida en B.
La inclusión de A en B implica para cualquier predicado C (en casos de definitud):

(∀_B x, C(x)) ⇒ (∀_A x, C(x))
(∃_A x, C(x)) ⇒ (∃_B x, C(x))
(∃_Cx, A(x)) ⇒ (∃_Cx, B(x))
(∀_Cx, A(x)) ⇒ (∀_Cx, B(x))

Normas de demostraciones para los cuantificadores en un predicado unario

Introducción existencial.Si tenemos los términos t, t′,… y una demostración de (A(t) ∨ A(t′) ∨ …), entonces ∃x, A(x).

Eliminación existencial. Si ∃x, A(x), entonces podemos introducir una nueva variable z libre con la hipótesis A(z) (las consecuencias van a ser ciertas, sin restringir la generalidad).

Estas reglas expresan el significado de ∃: pasando de t, ... a ∃, después de ∃ a z, permitiendo a z representar uno de t, t′, … (sin saber cuál). Ellos dan el mismo significado a ∃ _C como a sus 2 anteriores fórmulas equivalentes, pasando por (haciendo implícita) la regla extendida para definitud (C ∧ A) centrándose en el caso cuando C(x) es verdadero y por lo tanto A(x) es definido.

Mientras ∃ apareció como la designación de un objeto, ∀ aparece como una regla deductiva: ∀_Cx, A(x) significa que su negación ∃_Cx, ¬A(x) lleva a una contradicción.

Introducción universal. Si desde la mera hipótesis C(x) en una nueva variable libre x podríamos deducir A(x), entonces ∀_Cx, A(x).

Eliminación Universal. Si ∀_Cx, A(x) y t es un término que satisface C(t), entonces A(t).

Introducir y después eliminar ∀ es como reemplazar x por t en la demostración inicial.

Las deducciones se puede hacer por estas reglas, reflejando las fórmulas

((∀_Cx, A(x)) ∧ (∀_Cx, A(x) ⇒ B(x)))	⇒ (∀_Cx, B(x))
((∃_Cx, A(x)) ∧ (∀_Cx, A(x) ⇒ B(x)))	⇒ (∃_Cx, B(x))
(∀_Cx, A(x)) ∧ (∃_Cx, B(x)))	⇒ (∃_Cx, A(x) ∧ B(x))
(∃_A x, ∀_B y, R(x,y))	⇒ (∀_By, ∃_A x, R(x,y))

Estado de los cuantificadores abiertos en la teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos se traduce a una teoría genérica convirtiendo a las clases los dominios de los cuantificadores:

(∃x∈E, A(x)) → (∃x, x ∈ E ∧ A(x))
(∀x∈E, A(x)) → (∀x, x ∈ E ⇒ A(x))

La teoría de conjuntos sólo admite los cuantificadores sobre los conjuntos, llamados cuantificadores ligados, en sus fórmulas (también llamadas fórmulas ligadas para insistencia) que definen los predicados y pueden utilizarse en los términos. Pero su forma traducida como una teoría genérica permite a los cuantificadores en clases (o el universo), llamados cuantificadores abiertos.
Las fórmulas con cuantificadores abiertos en la teoría de conjuntos se llamarán afirmaciones. Su uso será esencialmente restringido a las declaraciones de la verdad de las afirmaciones esenciales definidas. Estos primero serán axiomas, después teoremas deducidas de ellos.
Los cuantificadores abiertos en las afirmaciones por lo general serán expresados como las articulaciones de lenguaje común (naturalmente usando las reglas anteriores de demostraciones) entre sus sub-fórmulas ligadas escritas en los símbolos conjunto-toereticos.

El constructor de conjuntos K = {x∈E| A(x)} fue definido por una afirmación (∀x, x∈K ⇔ (x∈E ∧ A(x))) pero 1.11 redefinirá esto sin cuantificador abierto (excepto en sus parámetros).

La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas
1. Primeros fundamentos de matemática 1.1. Introducción a los fundamentos de matemática 1.2. Variables, conjuntos, funciones y operaciones 1.3. Forma de teorías: nociones, objetos, meta-objetos 1.4. Estructuras de los sistemas matemátios 1.5. Expresiones y estructuras definibles	1.6. Conectivas lógicas 1.7. Clases en la teoría de conjuntos 1.8. Símbolos ligados en la teoría de conjuntos ⇦ 1.9. Cuantificadores 1.10. ⇨Formalización de la teoría de conjuntos 1.11. El principio de generación de conjunto
Los aspectos filosóficos Tiempo en la teoría del modelo	Tiempo en la teoría de conjuntos Interpretación de clases Conceptos de verdad en matemáticas
2. La teoría de conjuntos (continuación)	3. La teoría del modelo

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