1.7. Las clases en la teoria de conjuntos
El marco unificado de las teorias
La teoría de modelos no puede ser totalmente formalizada en la lógica de primer
orden: la exclusión de las «expresiones» y «demostraciones» infinitamente
grandes, requiere un axioma de segundo orden, formalizable en el marco conjunto-teórico (aunque
esta solución sigue siendo incompleta, como se explicará en la Parte 3).
Como los componentes de su modelo [T, M] se llaman allí por las variables
libres, su variabilidad lo hace la expresión conjunto-teórica de la
teoría de modelos (que junto con la axiomatización de la teoría de conjuntos,
completará la gran gira de los fundamentos de matemáticas).
Ahora T0 va a ser la copia externa de T, es decir, la teoría (integrada en
el formalismo de la teoría de conjuntos, pero sin formar parte de su universo
de objetos) cuyos componentes k (tipos, símbolos, axiomas) tienen copias
como objetos que son los componentes verdaderamente finitos del T. Formalmente,
T0 está hecho de k tal que «k» ∈ T, donde la notación como una cita «k»
abrevia un término fundamental de la teoría de conjuntos describiendo k
como un objeto. Por esta correspondencia, cualquier (modelo-teórico) modelo
M de T es también, indirectamente, un modelo (conjunto-teórico) de T0.
Esto da un marco potente para la interpretación de
T0 in M, que abarca
ambos marcos anteriores (conjunto-teórico y modelo-teórico) de
interpretaciones de teorías en modelos. Es decir, todos los trabajos
(expresiones, demostraciones y otros desarrollos) hechos en T0, tienen
copias como objetos en el sistema T (sistema de objetos descrito por la
teoría de conjuntos como el que tiene la propiedad formal de «siendo una
teoría»); mientras tanto, el modelo (conjunto-teórico) M de T0 se ve
formalmente como «un modelo de T», en el sentido modelo-teórico formalizado
dentro del mismo marco conjunto-teórico, ya que pertenece al mismo universo
que T.
Sin embargo, el poder de esta interpretación viene con el coste en
legitimidad: para una teoría T0 dada externamente con la cantidad
infinita de componentes, no podemos definir directamente una T
correspondiente, ya que un conjunto no puede ser definido formalmente
como hecho exactamente de los valores de una lista infinita de términos
(que son sólo metaobjetos). Podemos trabajar empezando desde T0 sólo si sus
infinidades de componentes son producidos por ciertas reglas,
para obtener T definido por las mismas reglas. Entonces, no importa si T0
es finito o no, la existencia de un modelo M de T, reflejando la
consistencia de T como definido dentro del universo, no es automáticamente
el resultado de la consistencia de T0 (como se ve fuera del universo).
Estas consecuencias de los teoremas de la completitud e incompletitud se
explicarán más adelante.
Las clases, conjuntos y meta-conjuntos
Para cualquier teoría, una clase es sólo un predicado unario A
reinterpretado como el conjunto de objetos done A es verdadero, que es
«la clase de los x tales que A (x)».
En particular para la teoría de conjuntos, cada conjunto E es sinónimo
de la clase de x tal que x ∈ E (definido por la fórmula x ∈ E con un argumento
x y el parámetro E). Sin embargo, esto implica dos diferentes interpretaciones
del concepto de conjunto, que tienen que ser distinguidos de la siguiente
manera.
A partir de ahora, en el marco unificado anteriormente, la teoría para
ser utilizada como T0, interpretada en el modelo M y estudiado como el
objeto T, la misma será la teoría de conjuntos (expresable como una teoría
genérica como está explicado en 1.9 y 1.10). Por lo tanto, el uso
anterior de los conceptos conjunto-teóricos como el marco que describe el
universo que nos rodea, ahora es una copia de T0 pero con una
interpretación diferente, que va a ser distinguida por tener un meta-prefijo.
Los conceptos teóricos en M pueden ser muy bien reflejados por su
meta-interpretación, pero ambos no tienen que confundirse.
En vez de la representación genérica de todos los objetos de las teorías
genéricas como los meta-elementos puros, el papel de cada objeto «conjunto»
de la teoría de conjuntos generalmente se interpretará por la clase
(meta-conjunto) de sus elementos; del modo parecido, el papel de las
funciones será interpretado por los functores correspondientes.
De esta manera, cualquier conjunto será una clase, mientras que cualquier
clase es un meta-conjunto de objetos. Pero, algunos meta-conjuntos de
objetos no son clases (ellos no pueden ser definidos por cualquier fórmula
con parámetros); y algunas clases no son conjuntos, como el universo
(la clase de todos los objetos, definidos por 1), y la clase de todos los
conjuntos, de acuerdo con la paradoja de Russell (1.8).
Las clases de definitud
En la teoría de conjuntos, todos los objetos tienen que ser aceptados como
«elementos» que pueden pertenecer a conjuntos y ser operados por funciones
(para evitar las divisiones illimited entre conjuntos de elementos,
conjuntos de conjuntos, conjuntos de funciones, conjuntos mixtos ...). Esto
podría ser formalizado por guardar 3 tipos donde cada conjunto tendría una
copia entre los elementos (identificados por un funtor de los conjuntos de
elementos), y lo mismo para las funciones. Pero no sería suficiente para
nuestra teoría de conjuntos, que va a necesitar más nociones además de
aquellos de conjunto y función. Para eso nuestra teoría de conjuntos
utilizará clases en vez de tipos como sus nociones. En particular, las
nociones de conjunto y de función van a ser clases nombradas por los
símbolos de predicados:
Set = «es un conjunto»
Fnc
= «es una función»
En las teorías genéricas la corrección sintáctica de una expresión
(que es implícita en el concepto de la «expresión») asegura que eso va a
tomar un valor definido, para todos los datos del modelo con una
interpretación de sus variables libres allí. Pero en la teoría de conjuntos
esto todavía puede depender de los valores de sus variables libres.
Por lo tanto, la expresión A (y cualquier estructura definida de ella)
se llamará definitiva si de momento toma un valor para los valores dados de
sus variables libres (argumentos y parámetros) en el modelo. Esta condición
de definitud es el mismo predicado definido en todas partes, expresado por
una fórmula vamos a abreviar aquí como dA, con las mismas variables libres.
Las clases están definidas por los predicados unarios determinados. El
meta-dominio de cualquier estructura unaria A, es la clase definida por dA,
con el mismo argumento y los parámetros, llamado su clase de definitud.
Las expresiones tendrían que ser utilizadas donde están definidas, lo que
será hecho de una forma bastante natural. La condición de definitid de
(x ∈ E) es Set(E). La de evaluador de función f(x) es (Fnc(f) ∧ x∈ Dom f).
Pero la definitud de la última fórmula necesita una justificación que se
representará más adelante.
La definitud extendida
Una teoría con las estructuras parcialmente definidas puede ser formalizada
(traducida) como una teoría con un tipo y las estructuras definidas en todas
partes, manteniendo intactas todas las expresiones y sus valores estén
donde estén definidas: los modelos están traducidos de una forma dando
valores arbitrarios a las estructuras indefinidas (por ejemplo, un valor
constante), y de otra forma ignorando aquellos valores. Por lo tanto, una
expresión con una subexpresión indefinida puede ser declarada como definida
si su valor final no depende de estos valores adicionales.
Para todos los predicados A y B, vamos a dar a A ∧ B y A ⇒ B la misma
condición de definitud (dA ∧ (A ⇒ dB)) (rompiendo para A ∧ B la simetría
entre A y B que no tiene que ser restablecida). Sin embargo se verán
de una forma definida (con los valores respectivos 0 y 1) si A es falso y
B no es definido.
Esto les hace definidas a las condiciones de definitud, así como dA ∧ A y
dA ⇒ A (extendiendo A donde no estaba definida, por 0 y 1 respectivamente).
De esta manera, ambas fórmulas A ∧ (B ∧ C)
(A ∧ B) ∧ C tienen la misma condición de definitud (dA ∧ (A ⇒ (dB ∧ (B ⇒ dC)))).
Para cualquier clase A y cualquier predicado unario B definido en todo A,
la clase definida por el (definido donde sea) predicado A∧B, se llama
la subclase de A definida por B.
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en théorie des ensembles