El principio de generación de conjunto

1.11. El principio de generación de conjunto

Los cuantificadores ligados dan a los conjuntos de su función fundamental como rangos de las variables ligadas, desconocidas por el predicado ∈ que sólo deja interpretar un papel de clases. Técnicamente, para el cuantificador ligado (∃ ∈,) es suficiente definir el predicado ∈ como

x ∈ E ⇔ (∃y∈E, x=y)

pero no es definible de el a cambio en el formalismo conjunto-teóretico, como la definición inversa implica un cuantificador abierto. Filosóficamente, la percepción de un conjunto como una clase (capacidad de clasificar cada objeto como perteneciente a el o no) no proporciona su percepción completa como un conjunto (el punto de vista sobre todos sus elementos como coexistentes).

El principio de generación de conjuntos. Para cualquier clase C (definida por una fórmula ligada dada con parámetros), si la fórmula (∀x,C(x) ⇒ A(x)) que expresa ∀_C en un predicado unario indefinido A (un símbolo extra de predicado utilizado ignorando la posibilidad de sustituirlo por una fórmula, como se menciona en 1.5) está demostrado equivalente a una fórmula ligada (aquí abreviado como (Qx, A(x)) como un cuantificador), entonces C es un conjunto que puede llamarse por un nuevo símbolo operador K para ser añadido al lenguaje de la teoría de conjuntos, con argumentos, los parámetros (comunes) de C y Q, y el axioma:
(Para todos los valores de parámetros aceptados), Set(K) ∧ (∀x∈K, C(x)) ∧ (Qx, x ∈ K).

Esta equivalencia entre Q and ∀_C es igual de expresable como la siguiente lista de 3 reglas, donde el cuantificador Q* definido por (Q*x, A(x)) ⇎ (Qx,¬A(x)) será equivalente a ∃_C:

(1) ∀x, (C(x) ⇔ Q*y, x=y) (de verdad sólo necesitamos ∀x, C(x) ⇒ Q*y, x=y)
(2) Qx, C(x)
(3) Para todos (símbolos indefinidos de) predicados unarios A y B, (∀x, A(x) ⇒ B(x)) ⇒ ((Qx, A(x)) ⇒ (Qx, B(x))).

En realidad estas 3 propiedades ya son las consequencias conocidas de «Q=∀_C». Por otro lado,
((2) ∧ (3)) ⇒ ((∀_Cx, A(x)) ⇒ Qx,A(x))
((1) ∧ ∃_Cx, A(x)) ⇒ ∃y, (Q*x, x=y) ∧ (∀x, x=y ⇒ A(x)) ∴ ((3) ⇒ Q*x,A(x)) ∎

(3) a menudo será inmediata, por falta de cualquier ocurrencia inoportuna de A en Q (dentro de una negación, una equivalencia, o la izquierda de la a ⇒), que nos deja verificar (1) y (2).

Aquí están los ejemplos de los símbolos de operadores (la primera columna es la abreviatura genérica mientras otras son los ejemplos eficaces, denotando que D=Dom f) :

K	{y ∈ E\|B(y)}	⋃E	Im f	⌀	{y}	{y,z}
dK	∀x∈E, dB(x)	Set(E) ∧ ∀x∈E, Set(x)	Fnc(f)	1	1	1
C(x)	x∈E ∧ B(x)	∃y∈E, x∈ y	∃y∈D, f(y)=x	0	x=y	x=y ∨ x=z
Qx, A(x)	∀x∈E, B(x) ⇒ A(x)	∀y∈E, ∀x∈y, A(x)	∀x∈D, A(f(x))	1	A(y)	A(y) ∧ A(z)
Q*x, A(x)	∃x∈E, B(x) ∧ A(x)	∃y∈E, ∃x∈y, A(x)	∃x∈D, A(f(x))	0	A(y)	A(y) ∨ A(z)

La definición del conjuntoK={x∈E | B(x)}, que sólo fue expresado como clase, también puede ser escrito como el caso particular de la axioma mencionado antes, es decir,

Set(K) ∧ (∀x∈K, x∈E ∧ B(x)) ∧ (∀x∈E, B(x) ⇒ x ∈ K)

o su version abreviada

Set(K) ∧ K ⊂ E ∧ (∀x ∈ E, x ∈ K ⇔ B(x))

con la que la demostración de la paradoja de Russel sería escrita:
F={x∈E | Set(x) ∧ x∉x} ⇒ ((∀x∈E, x∈F ⇔ (Set(x) ∧ x∉x)) ∧ (F∈F ⇎ (Set(F) ∧ F∉F))) ⇒ F ∉ E

El functor ⋃ es el símbolo de la unión y sus axiomas forman el axioma de la union..

El conjunto Imf de valores de f(x) cuando x recorre sobre Dom f, se llama la imagen de f.
Definimos el predicado f:E→F como

(f:E→F) ⇔ (Fnc(f) ∧ Set(F) ∧ Domf = E ∧ Imf ⊂ F)

esto se lee como «f es una función de E a F ». Un conjunto F tal que Imf ⊂ F (i.e. ∀x ∈ Dom f, f(x) ∈ F), se llama un conjunto de objetivo de f.
Lo más preciso (Fnc(f) ∧ Dom f=E ∧ Imf = F) se denotará f:E ↠ F (f es una sobreyección, o una función sobreyectiva de E a F, o la función de E en F).

El conjunto vacío ⌀ es el único conjunto sin elementos, y está incluido en cualquier conjunto E (⌀ ⊂ E).
Por lo tanto, (E=⌀ ⇔ E ⊂ ⌀ ⇔ ∀x∈E, 0), y por lo tanto (E ≠ ⌀; ⇔ ∃x∈E,1).
Este símbolo constante ⌀ asegura la existencia de un conjunto; para cualquier conjunto E también obtenemos ⌀ = {x∈E | 0}.
Como (Dom f=⌀ ⇔ Imf=⌀) y (Dom f=Dom g=⌀ ⇒ f=g), the only función con dominio ⌀ se llama la función vacía.

Podemos redefinir ∃ de lo anterior de dos maneras: (∃x∈E, A(x)) ⇔ {x∈E | A(x)} ≠ ⌀ ⇔ (1 ∈ Im(E∋x ↦ A(x))).

Para cada x, {x,x}={x}. Tal conjunto con un solo elemento se llama un conjunto unitario..
Para cada x, y tenemos {x, y}={y, x}. Si x ≠ y, el conjunto {x, y} con 2 elementos x e y se llama un par.

Nuestra teoría de conjuntos más tarde se completará con más símbolos y axiomas, tanto cuando sea necesario (como aquí) u opcional (abriendo la diversidad de posibles teorías de conjuntos).

La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas
1. Primeros fundamentos de matemática 1.1. Introducción a los fundamentos de matemática 1.2. Variables, conjuntos, funciones y operaciones 1.3. Forma de teorías: nociones, objetos, meta-objetos 1.4. Estructuras de los sistemas matemátios 1.5. Expresiones y estructuras definibles	1.6. Conectivas lógicas 1.7. Clases en la teoría de conjuntos 1.8. Símbolos ligados en la teoría de conjuntos 1.9. Cuantificadores 1.10. Formalización de la teoría de conjuntos ⇦ 1.11. El principio de generación de conjunto
⇨Los aspectos filosóficos Tiempo en la teoría del modelo	Tiempo en la teoría de conjuntos Interpretación de clases Conceptos de verdad en matemáticas
2. La teoría de conjuntos (continuación)	3. La teoría del modelo

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