1.6. Las conectivas logicas

Ya hemos visto las conectivas nularias: las constantes booleanas 0 (falso) y 1 (verdadero).
La conectiva binaria de la igualdad entre los Booleanos se escribe como ⇔ y se llama equivalencia: A ⇔ B se lee «A es equivalente a B».

Presentemos otras conectivas útiles, con sus propiedades verdadero para todos los valores posibles de las variables booleanas (A, B, C, que pueden reemplazarse por las fórmulas).

Negación

La única conectiva unaria útil es la negación ¬, que intercambia los Booleanos (¬ A se lee como «no A»):
¬1
¬0
¬(¬A) 		⇔ 0
⇔ 1
⇔ A
A menudo se denota por prohibición de la raíz de su argumento, formando con él el otro símbolo con el mismo formato:
x ≠ y
x ∉ E
(A ⇎ B)
(A ⇎ B)
 ⇔ ¬(x=y)
⇔ ¬(x ∈ E)
⇔ ¬(A ⇔ B)
⇔ (A ⇔ ¬B))
 (x no es igual a y)
(x no es un elemento de E)
(Inequivalencia)

Conjunciones, disyunciones

La conjunción ∧ significa «y», teniendo el valor True sólo cuando ambos argumentos son ciertos;
La disyunción ∨ significa «o», teniendo siempre el valor True excepto cuando ambos argumentos son falsos.
Cada uno de ellos es:
Idempotente
(A ∧ A) ⇔ A
(A ∨ A) ⇔ A
 Conmutativa
(B ∧ A) ⇔ (A ∧ B)
(B ∨ A) ⇔ (A ∨ B)
Asociativa
((A ∧ B) ∧ C) ⇔ (A ∧ (B ∧ C))
((A ∨ B) ∨ C) ⇔ (A ∨ (B ∨ C))
 Distributiva sobre la otra
(A ∧ (B ∨ C)) ⇔ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C))
(A ∨ (B ∧ C)) ⇔ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C))

La simetría entre las expresiones viene del hecho de que los símbolos están intercambiadas por la negación:

(A ∨ B) ⇎ (¬A ∧ ¬B)
(A ∧ B) ⇎ (¬A ∨ ¬B)

Las cadenas de conjunciones, tales como (A ∧ B ∧ C), abrevian cualquier fórmula con más paréntesis como ((A ∧ B) ∧ C), que son equivalentes a cualquier otro gracias a la asociatividad; y de manera similar para las cadenas de disyunciones, tales como (A ∨ B ∨ C).
Afirmando la conjunción de fórmulas equivale a la afirmación sucesiva de todas estas fórmulas.
La inequivalencia ⇎ también se llama «o exclusivo» porque (A ⇎ B) también se puede escribir como ((A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)).

Implicación

La conectiva binaria de implicación ⇒ se define como (A ⇒ B) ⇔ ((¬A) ∨ B). Se puede leer «A implica B», «A es una condición suficiente para B», o «B es una condición necesaria para A». Siendo cierto a excepción del caso cuando A es verdadero y B es falso, eso expresa la veracidad de B cuando A es verdadero, pero no da la información sobre B cuando A es falso (ya que es entonces se convierte en verdadero).
Además,
(A ⇒ B) ⇎
(A ⇒ B) ⇔		 (A ∧ ¬B)
(¬B ⇒ ¬A)
La fórmula ¬B ⇒ ¬A se llama la contraposición de A ⇒ B.
La equivalencia también puede ser redefinida como
(A ⇔ B) ⇔ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)).
Por lo tanto, la demostración de A ⇔ B se puede hacer de la demostración de la primera implicación (A ⇒ B), después una prueba de la segunda (B ⇒ A), llamada inversa de (A ⇒ B).

La fórmula (A ∧ (A ⇒ B)) será abreviada como A ∴ B, que se lee como «A por lo tanto B». Es equivalente a (A ∧ B), pero indicando que se deduce de la veracidad de A y (A ⇒ B).

Negations transform the associativity and distributivity formulas of conjunctions and disjunctions, into various formulas with implications:
(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ ((A ∧ B) ⇒ C)
(A ⇒ (B ∨ C)) ⇔ ((A ⇒ B) ∨ C)
(A ⇒ (B ∧ C)) ⇔ ((A ⇒ B) ∧ (A ⇒ C))
((A ∨ B) ⇒ C) ⇔ ((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C))
((A ⇒ B) ⇒ C) ⇔ ((A ∨ C) ∧ (B ⇒ C))
(A ∧ (B ⇒ C)) ⇔ ((A ⇒ B) ⇒ (A ∧ C))
Finalmente,
((A ⇒ B) ∧ (A∧C)) ⇒ (B∧C)
((A ⇒ B) ∧ (A∨C)) ⇒ (B∨C)

Las cadenas de implicaciones y equivalencias

En otro tipo de abreviatura, cualquier lista de fórmulas conectada por ⇔ y/o ⇒ significará la conjunción de todas estas implicaciones o equivalencias entre las fórmulas adyacentes:

(A ⇒ B ⇒ C) ⇔ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)
(A ⇔ B ⇔ C) ⇔ ((A ⇔ B) ∧ (B ⇔ C)) ⇒ (A ⇔ C)
0 ⇒ A ⇒ A ⇒ 1
(¬A) ⇔ (A ⇒ 0) ⇔ (A ⇔ 0)
(A ∧ 1) ⇔ A ⇔ (A ∨ 0) ⇔ (1 ⇒ A) ⇔ (A ⇔ 1)
(A ∧ B) ⇒ A ⇒ (A ∨ B)

Axiomas de la igualdad

Para cualquieres objetos (o abreviaturas de términos) x, y, cualquier funtor T y cualquier predicado unario A,
x = y ⇒
x = y ⇒		 x = x
T(x) = T(y)
(A(x) ⇔ A(y))
La última fórmula también puede ser escrita como (A(x) ∧ x = y) ⇒ A(y), desde la conversión A(y) ⇒ A(x) puede ser deducida tanto por su contrapositivo (sustituyendo A por ¬A) o por la simetría de la igualdad (x = y ⇒ y = x) obtenida tomando como A(z) la fórmula (z = x).
Eso también da para todos x, y, z, (x = y ∧ y = z) ⇒ x = z. La fórmula (x = y ∧ y = z) será abreviada como x = y = z.

Demostrabilidad

La demostración de una fórmula A en una teoría de primer orden T, es un modelo finito de teoría de la demostración, conectando la A a algunos axiomas de T.
Decimos que A es demostrable en T y escribimos T⊢ A si existe una demostración de A en T.
De nuevo en T, una refutación de una fórmula A es una demostración de ¬A. Si existe una (T⊢ ¬ A), la fórmula A se llama refutable (en T).
Una formula se llama indecidible (en T) si no es ni demostrable, ni refutable.

Si una fórmula es a la vez demostrable y refutable, eso significa que la teoría es inconsistente:

(A ∧ ¬A) ⇔ 0
((T⊢ A)∧(T⊢ ¬A))⇔(T⊢ 0).

La teoría T se llama contradictoria o inconsistente si T⊢ 0, en otro caso se llama consistente. En una teoría inconsistente, cada fórmula es demostrable. Tal teoría no tiene un modelo.

Sin intentar de formalizar que es una prueba, vamos a escribir simplemente las demostraciones de una forma natural, por lo general como una sucesión de fórmulas, cada verdadera por lo visto gracias a las anteriores y las propiedades anteriores de las conectivas y la igualdad. Las articulaciones del lenguaje natural también pueden aparecer, sobre todo cuando se trata de cuantificadores (1.9) y de la introducción de símbolos definidos por expresiones.
En particular, una igualdad entre los términos x = y permite sustituir cualquier ocurrencia de x por y en cualquier expresión sin afectar al resultado; cuando un símbolo está definido por un termino, ambos son iguales, por lo tanto pueden sustituir uno a otro en cualquier expresión. Axiomas y otras normas expresadas con símbolos de variables (en virtud de los cuantificadores universales, ver 1.9) pueden utilizarse sustituyendo de estas variables por términos.
Las fórmulas demostrables con una demostración conocida (tanto por personas como por equipos) pueden ser nombradas de manera diferente en un lenguaje usual de acuerdo con su importancia: un teorema es más importante que una proposición; ambos pueden deducirse de otro lema menos importante, y un corolario se puede deducir fácilmente.

La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas
1. Primeros fundamentos de matemática
1.1. Introducción a los fundamentos de matemática
1.2. Variables, conjuntos, funciones y operaciones
1.3. Forma de teorías: nociones, objetos, meta-objetos
1.4. Estructuras de los sistemas matemátios
1.5. Expresiones y estructuras definibles ⇦
1.6. Conectivas lógicas
1.7. ⇨Clases en la teoría de conjuntos
1.8. Símbolos ligados en la teoría de conjuntos
1.9. Cuantificadores
1.10. Formalización de la teoría de conjuntos
1.11. El principio de generación de conjunto
Los aspectos filosóficos
Tiempo en la teoría del modelo
Tiempo en la teoría de conjuntos
Interpretación de clases
Conceptos de verdad en matemáticas
2. La teoría de conjuntos (continuación) 3. La teoría del modelo

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