1.4. Estructuras de los sistemas matemáticos

Las estructuras, que interpretan el lenguaje de una teoría (los valores de los símbolos de la estructura en una interpretación teórica de conjuntos) relacionan los objetos de diversos tipos para formar el sistema estudiado. Estas estructuras permiten a los objetos de cada tipo jugar diversos papeles en el sistema. De acuerdo con estos papeles, los objetos pueden ser interpretados como objetos complejos, a pesar de su naturaleza básica de los elementos puros.
Las teorías genéricas admiten 2 tipos de estructuras (y por la causa de los símbolos de la estructura): operadores y predicados.

Un operador es una operación entre los tipos interpretados. Por el lado de la teoría antes de interpretación, cada símbolo del operador viene con los datos de su aridad (o lista de los argumentos vista como lugares alrededor del símbolo), el tipo de cada argumento (que recorrerá el tipo interpretado), y el único tipo de todos sus valores (resultados de la operación).
Los símbolos constantes (o constantes) de una teoría son sus nularios símbolos de operador.
Los operadores unarios (que son funciones) serán llamados aquí funtores (esto no tiene que confundirse con el concepto de funtor en la teoría de categorías).

La lista de tipos está completada con el tipo booleano, interpretada como el par de elementos 1 («verdadero») y 0 («falso»). Una variable de este tipo (fuera de la teoría) se llama una variable booleana.
Un para-operador es un operador generalizado que permite al tipo booleano estar entre sus tipos de argumentos y resultados.
Un (lógico) conectivo es un para-operador sólo con argumentos y valores booleanos.
Un predicado es un para-operador con valores booleanos y por lo menos un argumento, pero que no sea booleano.

Estructuras de la teoría de conjuntos

Vamos a empezar con formalizar la teoría de conjuntos con 3 nociones primitivas (tipos de objetos): elementos (todos los objetos), conjuntos y funciones. Esta formalización se desarrollará progresivamente de forma que sea necesaria, con otras nociones que pueden ser vistas tanto como primitivas como derivadas de la anterior y otros símbolos que contribuyen a dar a sus papeles a todo tipo de objetos. Pero este trabajo de formalización requiere ignorar la interpretación superior de la teoría de conjuntos ya que ambas conexiones entre las teorías genéricas formalizadas y la teoría de conjuntos no deberían de confundirse (la traducción teórica de conjuntos de teorías todavía no está aplicada a la misma teoría de conjuntos, esto se discutirá en 1.7).

Una forma para la teoría de conjuntos de dar a los conjuntos sus papeles es por el predicado binario ∈ : para cualquier elemento x y cualquier conjunto E, decimos que x está en E (o pertenece a E, o es un elemento de E, o que E contiene x) y escribimos xE, para decir que x está dentro de los valores de una variable con un rango E.
Funciones f desempeñan su papel por dos operadores: el functor del dominio Dom y el evaluador de funciones, operador binario que es implícito en la notación f(x) con argumentos f y x, dando el valor de cualquier función f en cualquier elemento x en Dom f.

Sobre la teoría axiomática de conjuntos ZFC

La teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF, o ZFC con el axioma de elección) es una teoría genérica con un solo tipo «set», un símbolo de estructura ∈, y axiomas. Se supone implícitamente que cada objeto es un conjunto y, por lo tanto un conjunto de conjuntos etc., construido sobre el conjunto vacío.
Los especialistas de la lógica matemática lo eligen para sus necesidades de una teoría potente en un ciclo de fundación ampliada, por la cual pueden demostrar muchas fórmulas difíciles o su indemostrabilidad. Después, los autores de los cursos básicos normalmente representan la teoría de conjuntos como una versión popularizada o implícita de la teoría ZFC, admitida como la referencia estándar, como si esto fuera necesario o evidente (como un sistema axiomático motivado intuitivamente, históricamente seleccionado por su consistencia y la conveniencia de sus resultados).
Pero para un comienzo de las matemáticas, ZF (C) no es una referencia ideal. Sus axiomas (descripciones del universo que han de asumir el marco de la teoría de modelo para dar sentido) merecerían las justificaciones más sutiles y complejas que se supone generalmente. Las matemáticas ordinarias, usando muchos objetos que normalmente no se ven como conjuntos, solamente se formalizan de manera poco elegante sobre esta base. Como las funciones de todos los objetos necesarios de todos modos pueden ser interpretados por conjuntos de una forma indirecta, que no han requerido otra formalización, pero se mantuvieron los casos de discrepancia entre la «teoría» y la práctica de las matemáticas.

Tipos en la teoría de un modelo

Ignorando la diversidad de posibles modelos, la teoría de un modelo sólo necesita un meta-noción de «tipo» para desempeñar ambos papeles de los tipos abstractos (en la teoría) y de sus valores como tipos interpretados (componentes del modelo): estas funciones son dadas por meta-functores, una de variables a tipos, y otra de los objetos a tipos. De esta forma, la teoría de un modelo ignora la noción más general de «conjunto de objetos» por la que hemos introducido los tipos interpretados.

La noción de estructura en la teoría de un modelo

Del mismo modo, el papel de «estructuras» (que es una operación entre los tipos interpretados, con valores booleanos en caso de un predicado) puede ser formalizado por meta-estructuras (similar al evaluador de funciones).
A diferencia de los tipos interpretados (todos nombrados por tipos abstractos), nuestra noción de estructura en la teoría de un modelo será más grande que la de los valores de los símbolos en un lenguaje dado. Para ello, las estructuras serán otro meta-tipo con un meta-funtor de los símbolos en las estructuras. Sin embargo, esta simple formalización dejaría la extensión exacta de esta noción de estructura indeterminada.
Tratan de de entender este rango como el de «todas las operaciones entre los tipos interpretados» dejaría desconocida la fuente del conocimiento de esa totalidad. Esta idea de totalidad se formalizará en la teoría de conjuntos como el conjunto de conjuntos (powerset) (2.5.), pero su significado aún dependería del universo donde está interpreto (supuesto para contener todas las operaciones deseadas), lejos de nuestro interés actual para la teoría de un modelo.

En vez de eso nos fijaremos la noción de una estructura como ligada al caso de aquellos definidos por expresiones.

La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas
1. Primeros fundamentos de matemática
1.1. Introducción a los fundamentos de matemática
1.2. Variables, conjuntos, funciones y operaciones
1.3. Forma de teorías: nociones, objetos, meta-objetos
1.4. Estructuras de los sistemas matemátios
1.5. Expresiones y estructuras definibles
1.6. Conectivas lógicas
1.7. Clases en la teoría de conjuntos
1.8. Símbolos ligados en la teoría de conjuntos
1.9. Cuantificadores
1.10. Formalización de la teoría de conjuntos
1.11. El principio de generación de conjunto
Los aspectos filosóficos
Tiempo en la teoría del modelo
Tiempo en la teoría de conjuntos
Interpretación de clases
Conceptos de verdad en matemáticas
2. La teoría de conjuntos (continuación) 3. La teoría del modelo

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