Conceptos de la verdad en las matemáticas
Repasemos 4 conceptos distintos de «verdad» de una fórmula matemática,
desde el más sencillo hasta el más sutil.
Vimos primero la verdad relativa que es el valor de una fórmula
interpretado en un modelo supuestamente dado (como una variable implícita libre,
ignorando cualquier dificultad a especificar cualquier ejemplo).
En este sentido, una fórmula dada puede ser tan verdadera como falsa
dependiendo del modelo, y de los valores de sus variables libres allí.
Demostrabilidad
Luego viene la calidad de ser relativamente verdadero en todos los modelos
de una teoría axiomática dada, que coincide con la demostrabilidad
en esta teoría,
es decir la deducción de sus axiomas por las reglas de la lógica de primer orden.
Es decir, existen los sistemas formales de demostración para la lógica de primer
orden, con los algoritmos de verificación de demostrabilidad conocidos,
universalmente aplicables a cualquier teoría de primer orden, mientras mantienen
esta calidad (capacidad de demostrar exactamente todas las fórmulas universalmente
verdaderas).
Esta propiedad destacada de la lógica de primer orden, junto con el hecho de que
toda la matemática se expresa allí (lo que no se puede hacer directamente allí
se hace mediante la inserción en la teoría de conjuntos, formalizada como una
teoría de primer orden), da a este marco la principal importancia en los
fundamentos de las matemáticas: esto reconcilia el Platonismo y el formalismo,
dando un sentido claro y natural a los conceptos de «demostración», «teorema» y
«coherencia».
El teorema de completitud asegurando esto, primero expresado como indica la
existencia de un modelo de cualquier teoría coherente de primer orden,
será demostrado construyendo estos modelos fuera del conjunto infinito
de todas las expresiones generales en un idioma construido de la teoría
(el idioma de las teoría y más símbolos extraídos de sus axiomas).
Como el mismo conjunto de todas las expresiones generales en un lenguaje puede
ser construido a partir de este idioma junto con el conjunto ℕ de los números
naturales, la validez de este teorema sólo depende del axioma de la infinidad,
es decir la existencia de ℕ como la infinidad actual, suficiente para todas las
teorías (ignorando la diversidad de infinidades en la teoría de conjuntos).
Todos estos formalismos, cuando son correctos, son equivalentes entre sí: cualquier
prueba que corresponde a uno es automáticamente convertible en una demostración
correspondiente a cualquier otra. Sin embargo, sólo son las propiedades teóricas,
asumiendo de una manera abstracta los recursos informáticos disponibles
ilimitadas, capaz de encontrar pruebas de cualquier tamaño (mientras que el tamaño
exacto de una demostración puede depender del formalismo particular).
El problema es, hasta algunas fórmulas relativamente simples pueden ser
demostrables sólo por demostraciones que «no pueden ser encontradas», ya que serían
demasiado grandes, incluso más grandes que el número de átomos en el universo
visible físico (ver Teorema de aceleración
de Gödel).
Para incluir su caso, el concepto universal
de la demostrabilidad (existencia de una demostración) tiene que ser definido
en una forma abstracta. Es decir, puede expresarse como una formula de la aritmética de primer orden
(la teoría de primer orden de los números naturales con operaciones de
adición y multiplicación), hecha de un cuantificador existencial
que es ilimitado en el sentido de aritmética (∃ℕ p,
) seguido de una formula donde todos los cuantificadores son limitados, es
secir con el rango finito
(∀x < (...), ...). Por ejemplo, p puede ser
una codificación de la demostración, o el tiempo que necesita un algoritmo
de busqueda de demostración para encontrarlo
Sin embargo, una vez dada una fórmula aritmética sabiendo que es una expresión
correcta del predicado de demostrabilidad (mientras que todas estas fórmulas
son demostrablemente equivalentes entre sí), todavía tiene que ser interpretada.
Las verdades aritméticas
Esto implica el tercer concepto de la verdad matemática, que es
la verdad realista en la aritmética de primer orden. Esta es la
interpretación idealmente significada de la aritmética: la interpretación de
las fórmulas generales de la aritmética de primer orden en «el conjunto
verdadero ℕ de todos, y sólo todos los números naturales realmente finitos»,
llamada el modelo estándar de
aritmética. Pero cualquier formalización axiomática de aritmética en
la logica de primer orden es incompleta, en ambos siguientes sentidos de la cuestión:
- Debido al teorema de incompletitud, el conjunto de todas las verdades reales
de aritmética (fórmulas
verdaderas en ℕ) no puede ser producido exhaustivamente produced por ningún
algoritmo (usando
los recursos ilimitados pero una cantidad finita de la información inicial). Por lo tanto,
no pueden ser todas las consecuencias lógicas de ninguna teoría axiomática
producida de forma algorítmica (ya que la deducción lógica de los axiomas dados es
algorítmica).
- Incluso abstractamente considerando a tomar todas las verdades reales como
axiomas, todavía no sería suficiente para determinar el modelo, porque esto no
puede excluir los modelos no estándar. (Esta última forma de incompletitud no
tiene ningún nombre porque esto afecta igual la descripción de primer orden
de cualquier sistema infinito, de acuerdo con
El teorema de Löwenheim-Skolem,
y por lo tanto no es destacable.)
Esta incompletitud afecta al mismo predicado de demostrabilidad, aunque sólo
por un lado, como sigue.
Por un lado, si la fórmula p(A) de demostrabilidad
de una fórmula A, es verdadera, entonces es demostrable:
una demostrabilidad de p(A)
puede en principio ser producida por el siguiente método en 2
pasos:
- Encontrar una demostración de A (porque se supone que existe);
- Procesarlo por algún convertidor automático capaz de convertir
formalmente cualquier demostración de A en una demostración de que una demostración de A existe.
Por otra parte, no siempre es refutable cuando es falso: no importa el tiempo
gastado en la búsqueda en vano de una demostración de una fórmula improbable dada,
podríamos aún nunca ser capaces de refutar formalmente la posibilidad
de encontrar finalmente una demostración búscando más tiempo, por el riesgo
para una fórmula de ser la única demostrable por las demostraciones irrazonablemente largas.
En ausencia de un posible algoritmo final fijo para producir todas las verdades de
la aritmética, nos pueden interesar las soluciones parciales: algoritmos que
producen las listas infinitas de las fórmulas aritméticas generales con ambas cualidades
- Infalible (estancias incluidas en el conjunto de verdades, describiendo
el modelo estándar de la aritmética);
- Grande (en comparación por la inclusión con otros conjuntos de verdades
producibles algorítmicamente).
Un método natural para progresar en la búsqueda infinita (no algorítmica)
de los algoritmos cada vez mejores para la segunda calidad sin romper la
primera, consiste en las formalizaciones de desarrollo de la teoría de conjuntos
que describen los universos cada vez más grandes más allá de la infinidad de ℕ,
donde las propiedades de ℕ pueden deducirse como casos particulares. De hecho,
si una teoría de conjuntos T'
requiere su universo para contener, como un conjunto, un modelo U de la
theoría de conjuntos T, entonces la formula aritmética de la
consistencia de T será demostrable en T' pero no en T,
mientras que todos los teoremas aritméticos de T siguen siendo demostrables en T'
si T' describe U como estándar.
Las verdades conjunto teoréticas
Lo anterior se puede leer como un argumento indispensable para nuestro
último concepto de verdad, que es la verdad de las afirmaciones
conjunto teóricos. Para avanzar más allá de la deducción lógica
a partir de las aceptadas ya, tienen que ser introducidos más axiomas
conjunto teóricos ser introducido, motivados por algunos argumentos Platónicos
para una existencia real de algunos universos estándar donde son verdaderos;
la validez de tales argumentos tiene que ser evaluada de una forma intuitiva,
no una manera puramente formal, precisamente con el objetivo de hacerlo mejor
que cualquier algoritmo predefinido. Argumentos para una teoría axiomática de
conjuntos dada, llevan a las conclusiones aritméticas:
- La consistencia formal de esta teoría de conjuntos;
- Los teoremas aritméticos en su marco
Ambas conclusiones no tienen que confundirse :
- 1. no puede venir como un caso directo particular de 2. (al menos que
sea erróneo) pero también tiene que ser verdadero para 2. para ser consecutivo y por lo
tanto de cualquier interés;
- la razón para la verdad de 2. se refiere a la existencia de un modelo
estándar de esta teoría, mientras que 1. sólo significa que
los modelos no estándar existen.
Pero como los objetos de estas conclusiones son meras propiedades de los sistemas
finitos (demostraciones), sus significados permanecen no afectados por ningunas
hipótesis ontológicas sobre infinidades, incluyendo la ontología finalista
(denegando la realidad de cualquier infinidad actual, lo que pordría
significar filosofía). Suena difícil de entender, entonces, cómo su confiabilidad
puede competirse con disputas filosóficas en la "realidad" de las abstracciones
más allá de ellos (universos), sólo porque estaban motivados por estas
abstracciones.
Pero entonces, la afirmación de la consistencia (1), con la mera
existencia de ℕ, es suficiente dejar que los modelos de esta teoría existan
realmente (los modelos no estándar, pero funcionando igual que los estándar).
Para la deducción lógica de los axiomas conjunto teóricos para ser un buen
algoritmo aritmético de búsqueda de la verdad, estos axiomas deben de ser:
- Razonables = aceptan algunos universos estándar
(para mantener la salida infalible);
- Potentes = rechazan los universos estándar "pequeños" =
establecen el "tamaño" mínimo alto en la jerarquía de sus sub-universos
(para hacer la salida más grande).
Pero, para una colección de tales axiomas para mantener estas calidades
cuando se ponen juntos en una teoría común, tienen que ser compatibles, en el
sentido de que su relación permanece razonable. Dos de tales expresiones
podrían ser incompatibles, si uno de ellos limita el tamaño del universo
(por lo tanto no debería), o si cada declaración (utilizando ambos tipos de
cuantificadores abiertos cuando están escritos en la forma prenexa) infinitamente
alterna entre la verdad y falsedad cuando el universo se expande, de tal manera
que no ya no serían ciertos juntos en cualquier universo estándar más allá de
un cierto tamaño (su conjunción no tiene que limitar el tamaño del universo tampoco).
La pregunta es, ¿en qué tipo de universos grandes estándar podrían los
buenos axiomas más naturalmente ser verdaderos juntos?
Un universo estándar U' tendría que ser axiomáticamente descrito
como muy grande estableciendolo un poco mas grande que otro muy grande
U, pero el tamaño de este U necesitaría
la descripción diferente (ya que no puede ser demostrado para
satisfacer los mismos axiomas as U' sin contradicción), pero de que tipo ?
Describiendo U como también un poco más grande que
el tercer universo etc., se requerirían los axiomas para seguir
las diferencias sucesivas. Esto iría rápidamente en las complicaciones
ineficientes con las alternativas incompatibles, sin una razón precisa
para preferir una versión en contra de otras.
La solución natural, para la elegancia filosófica y la eficiencia y la
compatibilidad de los axiomas, es para centrarse en el caso contrario,
de los universos descritos tan grandes comparando con los más pequeños
(igual como hemos concebido el último universo como la unión de un multiverso
estándar): axiomas tienen que ser
- Abiertos = describen universos donde la eternidad es un tiempo muy largo
especialmente hacia el final (= los universos abiertos).
También es conveniente porque tales descripciones son de verdad expresables
por los axiomas interpretados dentro del universo, sin necesidad de ningún
objeto externo. De verdad, si una propiedad sólo fue expresable usando un
objeto externo (considerando este universo como un conjunto), podríamos
sustituirla describiendo en vez de eso nuestro universo como el que
contiene un sub-universo de este tipo (sin limitar su tamaño), y por qué no
también infinitamente muchos sub-universos de este tipo, que forman un
multiverso estándar: diciendo esto cada objeto está contenido en un tal
sub-universo. Esta es axiomáticamente expresable usando los objetos fuera
de cada uno de estos sub-universos, pero dentro de nuestro grande; y tales
axiomas se encajarán en las 3 calidades anteriores.
Finalmente, el significado bien entendido de la teoría de conjuntos no es ni
axiomático ni realístico, sino una especie de algo intermedio (sin haber
una separación fija) entre los dos: sus axiomas se fijan en acercarse a
todas las 3 cualidades (potentes y abiertas pero todavía razonables)
seleccionando los universos con los 3 correspondientes calidades (grandes y
abiertas, pero aún estándar), pero estas cualidades son difíciles de
interpretar, y cualquier lista de axiomas específica (resp. universo) sólo
se fija en acercarse a ellas, mientras que puede que esta búsqueda no termine nunca.
Afortunadamente, las teorías más simples, tales como ZF, ya satisfacen a
estas cualidades hasta un grado muy alto, describiendo las realidades mucho
más grandes que se necesitan normalmente. Así es como una visión de Platón
de la teoría de conjuntos (ver el universo de todos los objetos matemáticos
como una realidad fija y exhaustiva) puede funcionar como una buena
aproximación, aunque no puede ser un hecho exacto, absoluto.
Los marcos lógicos alternativos
La descripción que hemos hecho de los fundamentos de la matemática
(la lógica de primer orden y de la teoría de conjuntos), es
esencialmente sólo una expresión equivalentemente aclarada de las aceptadas ya
(una introducción diferente a la misma matemática). En la sección 3 se
representarán otros marcos lógicos que son las versiones restringidas
de la lógica
de primer orden, o en cualquier caso naturalmente expresables en la teoría
de conjuntos. Pero otros, los marcos más radicalmente diferentes
(conceptos de la lógica y/o conjuntos), llamados lógica no clásica,
podrían ser considerados. Ejemplos:
- Algunos lógicos desarrollaron la «lógica intuitiva», que permite a
las fórmulas guardar una posible indefinición como hemos mencionado para los
cuantificadores abiertos, pero tratados como una modificación de la
lógica Booleana pura
(el rechazo del tercero excluido, donde ¬(¬A) no implica A),
sin ninguna mención especial de los cuantificadores como la fuente de
esta incertidumbre. O podría verse como una confusión formal entre la verdad
y la bemostrabilidad. En este marco, {0}∪ ]0,1] ⊂ [0,1], sin igualdad.
Yo personalmente no pude encontrar ningún interés en este formalismo, pero
sólo he oído que los informáticos teóricos lo han visto útil.
- Estudiando la teoría de medidas
(que mathemáticamente deifne las probabilidades en
los conjuntos infinitos), estuve inspirado para interpretar sus resultados
como las afirnaciones más simples en otro concepto de conjunto, con la propiedad intuitiva siguiente.
Dejemos que x sea una variable aleatoriamente
escogida en [0,1], lanzando sucesivamenteuna moneda para cada de sus
(infinidad de) dígitos binarios. Dejemos que E sea el dominio de
x,
el conjunto de todos números aleatorios en [0,1]. No es vacío
porque tales números aleatorios pueden producirse. Ahora otro
número aleatorio, con el mismo rango (y ∈ E)
pero producido independientemente de x, no tiene ningúna
posibilidad de ser igual a x. Por eso, ∀x ∈ E,∀y
∈ E, x ≠ y. De esa forma, x ∈ E
ya no es siempre equivalente a ∃y ∈ E, x
= y.
Vamos a guardar la lógica clásica en todas las secciones siguientes, ignorando tales alternativas.
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