Tiempo en la teoría de modelos
Tiempo de la interpretación
Como la teoría de un modelo describe una teoría T
con un modelo M, los componentes (nociones y estructuras) de su propio modelo que hemos indicado como [T, M], en realidad se dividen en 3 categorías:
- Los componentes de T y sus desarrollos como un sistema formal (tipos abstractos, símbolos de estructura, expresiones, axiomas, demostraciones de axiomas), que se fijan en describir el modelo, pero permanecen fuera de él e independientes de él.
- Los componentes de M (interpretaciones de tipos y símbolos de estructura)
- La interpretación (atribución de valores) de todas las expresiones de T en M, para cualquier valor de sus variables libres.
La última (interpretación de expresiones), es una construcción matemática determinada por la combinación de los dos sistemas de T y M pero no está contenida directamente en estos datos. Al revés, se forma otro sistema más allá de ellos, y construido después de ellos.
La metáfora del tiempo habitual
Puedo hablar de «lo que dije en aquel tiempo»: esto tiene sentido si esa frase en pasado tenía uno, ya que yo tengo ese significado y yo lo recuerdo. Pero mencionando «lo que quiero decir», no se informaría sobre lo que es, ya que podría ser cualquier cosa, y se hace absurda en una frase que modifica o contradice este significado ( «lo contrario de lo que estoy diciendo»). Mencionando «que voy a mencionar mañana», incluso si sabía lo que iba a decir, no sería suficiente para poder dar ya su significado: en caso de que voy a mencionar «lo que le dije sobre ayer» (por lo tanto ahora) que haría un círculo vicioso ; pero incluso si la forma de mi futuro asegura que su significado existirá mañana, esto todavía no lo proporcionará hoy en día. Yo podría intentar de especular sobre ello, pero el significado actual de las declaraciones futuras sólo aparecerá una vez expresado en su contexto. Por falta de interés para describir las frases sin su significado, tendríamos que restringir nuestro estudio a las
expresnes anteriores, mientras simplemente "viviendo" las presentes e ignorando las futuras.
Por lo tanto, mi universo actual del pasado que puedo describir hoy, incluye el de ayer, pero también mis comentarios de ayer sobre él y su significado. Por lo tanto puedo describir hoy las cosas fuera del universo que podía describir ayer. Mientras tanto, yo ni aprendí a hablar marciano ni he adquirido una nueva inteligencia trascendental, pero el mismo lenguaje se aplica a un universo más amplio con nuevos objetos. Como estos nuevos objetos son de los mismos tipos igual a los viejos, mi universo de hoy puede ser igual que ayer; pero de un universo a otro, las mismas expresiones pueden tener los significados diferentes.
Como los historiadores, las teorías matemáticas sólo pueden «en cada momento dado» describir un universo de los objetos matemáticos anteriores, mientras esta misma interpretación «ocurre» en un presente de matemática fuera de este universo.
Hasta si describir «el universo de todos los objetos matemáticos» (modelo de la teoría de conjuntos), significa describir todo, este «todo» que está descrito, sólo es en cualquier momento el universo actual, uno de nuestro pasado; nuestro acto de interpretar las expresiones allí forma nuestro presente más allá de este pasado. Y después, describir nuestro acto anterior de la descripción, significa añadir a esta descripción anterior (este «todo» está descrito) algo más allá de ella.
El tiempo finito entre las expresiones
Dado un modelo, las expresiones no reciben sus interpretaciones todas al mismo tiempo, sino sólo unas después de otras, porque estas interpretaciones dependen unas de otras, por lo tanto tienen que ser calculadas unas después de la otras. Esta orden temporal de interpretación entre las expresiones sigue el orden jerárquico desde subexpresiones hasta expresiones que las contienen.
Vamos a tomar por ejemplo, la fórmula xy+x=3. Con el objetivo de que tenga sentido, las variables x e y han de tomar primero un valor. Después, xy
toma un valor obtenido multiplicando los valores de x e y. Entonces, xy+x
toma un valor basado en los anteriores. Entonces, la fórmula completa
(xy+x=3) toma un valor booleano (verdadero o falso).
Sin embargo, este valor depende de las variables libres x e
y. Finalmente, tomando por ejemplo la fórmula principal ∀x,
∃y, xy+x=3, su valor booleano (que es falso en el mundo de los números reales), «es calculado desde» tomados por la fórmula anterior para todos los valores posibles de x e y,
y por lo tanto comas después de ellos.
El tiempo infinito entre teorías
Una lista finita de fórmulas en una teoría puede ser interpretada por una fórmula grande que las contiene todas. Esto sólo requiere para integrar con éxito (o describir) todas las fórmulas individuales de la lista en la grande, sin necesidad de representar fórmulas como objetos (valores de una variable). Esta fórmula grande viene (es interpretada) después de todas, pero todavía pertenece a la misma teoría.
Pero sólo para una fórmula para referirse a la interpretación de una infinidad de fórmulas (como todas las fórmulas posibles, manejadas como los valores de una variable), esto requiere cambiarse al marco de la teoría de un modelo. Esta otra teoría interpretada vendrá
después de la primera; su modelo, que abarca la teoría presente con la interpretación de todas sus fórmulas en el modelo actual (universo de los objetos anteriores), será el siguiente universo del pasado, ya que será una vez esta infinidad de las interpretaciones actuales, se convertirá en el pasado.
O puede ser al revés? ¿Sería posible para la teoría actual expresar o al menos simular la noción de sus propias fórmulas y calcular sus valores?
Como está explicado en 1.7, algunas teorías (como la teoría de modelos, y la teoría de conjuntos, de las que pueden ser desarrolladas) son actualmente capaces de describir a sí mismos: ellas pueden describir en cada modelo un sistema que se parece a una copia de la misma teoría, con una noción de "todas sus fórmulas" (incluyendo objetos que son copias de sus propias fórmulas). Sin embargo entonces, de acuerdo con el teorema de la indefinibilidad de verdad, no hay una fórmula (predicado invariante) que puede dar los valores correctos booleanos para todas las copias de objetos de las fórmulas principales, de conformidad con los valores de estas fórmulas en el mismo modelo.
Este tiempo infinito entre teorías, se desarrollará como una jerarquía infinita de infinidades.
La paradoja de Zeno
Aquiles corre después de una tortuga; cada vez que él cruza la distancia hacia ella, la tortuga toma una nueva longitud por delante.
Visto desde una altura, un coche que va por una carretera horizontal se acerca al horizonte.
Las partículas en los aceleradores están más y más cerca a la velocidad de la luz.
¿Pueden alcanzar sus fines?
Cada ejemplo se puede ver de dos formas:
- la vista «cerrada», ve un final alcanzable;
- la vista «abierta» que ignora este fin, pero sólo ve el movimiento hacia este fin, sin llegar nunca.
Y en cada ejemplo, una medida física del «coste» para acercarse y lograr el fin (el objetivo), decide su «verdadera» interpretación, según si este coste sería finito o infinito, que puede diferenciarse de la primera suposición de un observador ingenuo.
Pero el mundo de matemática, libre de todos los costes físicos y donde los objetos sólo interpretan los papeles convencionales, se puede aceptar ambas interpretaciones.
Cada teoría genérica está «cerrada», porque puede ver su modelo (los rangos de sus variables) como completo (es un conjunto en su formulación conjunto-teórica): por su uso de conectores sobre tipos (o clases), se «alcanza el fin» de su modelo, y por lo tanto se ve como «cerrado». Pero cualquier marco posible para él (la teoría de un modelo y / o la teoría de conjuntos) se escapa.
Como está explicado en 1.7, la teoría de conjuntos tiene varios posibles modelos: del estudio de un universo de conjuntos dado, podemos fijarnos en la más grande con más conjuntos (que hemos llamado meta-conjuntos), y las nuevas funciones entre nuevos conjuntos.
Como esto puede repetirse sin fin, necesitamos una teoría «abierta» que integra de cada universo descrito por una teoría, como una parte (pasada) de un universo que viene más tarde, formando una secuencia infinita de realidades crecientes, sin vistas de cualquier totalidad definida. Este papel de la teoría abierta se interpretará por la teoría de conjuntos con la forma donde las expresiones sólo unen las variables en conjuntos (1,8).
Other languages:
FR : Temps en
théorie des modèles