1.3. Forma de teorías: nociones, objetos y metaobjetos
La variabilidad del modelo
Cada teoría consistente asume su modelo (interpretación) como fijo,
pero esto suele ser una mera «elección» de un modelo en una amplia (infinita) cadena de otros existentes, igual de legítomos modelos de la misma teoría;
el modelo empieza a ser variable cuando es visto por la teoría de modelos.
Pero esta «elección» y esta «existencia» de un modelo pueden ser bastante abstractas.
Detalladamente, la demostración del teorema de completitud,de manera de posibilidad de trabajar en todos casos, va a «especificar» un modelo de una forma eficaz en un conjunto de posibilidades,
pero esta construcción no es muy explícita (que implica una infinidad de pasos, donde cada paso depende de un conocimiento infinito). En estas condiciones, la suposición de la fijación de un modelo puede ser denominado despropósito,
pero sin embargo constituye la interpretación estándar de teorías matemáticas.
Nociones y objetos
Cada teoría tiene su propia lista de nociones,
generalmente designada por los nombres comunes,
que son los tipos de variables usadas por la teoría;
cada modelo (interpretación de la teoría) interpreta cada noción
como un conjunto que es un rango común de todas las variables de este tipo.
Por ejemplo, la geometría euclidiana tiene las nociones de «punto»,
«línea recta», «círculo» y más. Los objetos de una teoría en un modelo
son todos los valores posibles de sus variables
(los elementos de sus nociones) en este modelo.
La teoría de un solo modelo
Cuando estamos hablando de varias teorías T y sistemas M que pueden ser
modelos de los mismos T, estamos en el marco de la teoría de modelos,
con sus nociones de «teoría» y «sistema» que son los respectivos tipos
de las variables T y M. Pero cuando nos centramos el estudio en una teoría
(como la teoría de conjuntos) con un modelo supuestamente fijo,
las variables T y M se convierten en fijas y desaparecen (ya no son
variables, la elección de la teoría y el modelo se hace implícita).
Entonces las nociones de la teoría y el modelo desaparecen de la
lista de nociones también.
Esta fijación reduce el marco desde la teoría de modelos hasta dicha
teoría de un solo modelo. Un modelo de la teoría de un solo modelo es
un sistema [T, M] que combina la teoría T con un modelo M de T.
En la diversidad de marcos lógicos
Antes de dar una teoría T tenemos que especificar su marco lógico
(su formato o gramática) que describe las formas admisibles de contenidos
para T, qué es lo que significan tales contenidos sobre M,
y cómo sus consecuencias pueden deducirse. Este marco está dado por la
elección de una versión precisa de la teoría de un solo modelo
que describe T e interpreta sus reivindicaciones.
Primero vamos a describir dos de los marcos lógicos más principales
en paralelo. Las teorías en el marco más común de la lógica de primer orden
se llamará aquí teorías genéricas. la teoría de conjuntos estará expresada
en su propio marco especial. Más marcos se introducirán en la parte 3.
Los marcos lógicos más comunes, excepto uno especial de la teoría de
conjuntos, va a gestionar nociones como tipos (principalmente en un número
finito para cada teoría) clasificando tanto variables como objetos:
cada objeto pertenecerá a un solo tipo, una de las variables que puede
darle el nombre. Por ejemplo, un objeto de la geometría euclidiana puede
ser un punto o una línea recta, pero el mismo objeto no puede ser un punto
y una línea recta a la vez.
Ejemplos de las nociones de diversas teorías
| Teoría |
Tipos de los objetos (nociones) |
| La teoría genérica |
Elementos puros clasificados por tipos |
| La teoría de conjuntos |
Elementos, conjuntos, funciones, operaciones, relaciones, tuplas... |
| La teoría de modelos |
Teorías, sistemas y sus componentes (que aparece en la línea siguiente) |
| La teoría de un solo modelo
|
Objetos, símbolos, tipos, estructuras, expresiones (términos, fórmulas...) |
| Aritmética |
Números naturales |
| Álgebra lineal |
Vectores, escalares... |
| Vectores, escalares... |
Puntos, líneas rectas, círculos... |
Metaobjetos
Las nociones de la teoría de un solo modelo T1, normalmente interpretados
en [T, M], clasifican los componentes de T («tipo», «símbolo», «fórmula» ...)
y los de M («objeto», y las herramientas para interpretar T allí). Pero
las mismas nociones (hasta de la versión diferente de la teoría de un solo
modelo) pueden interpretarse en [T1, [T, M]], poniendo el prefijo meta- en
ellos.
Por su noción de «objeto», la teoría de un solo modelo distingue
los objetos de T en M entre sus propios objetos en [T, M], que son los
meta-objetos. La regla anterior del uso del prefijo meta permitiría
que cada objeto sea un meta-objeto; pero haremos una excepción en vocabulario
solamente para llamar meta-objetos a aquéllos los que no son objetos:
símbolos, tipos (y otras nociones), estructuras, expresiones...
La teoría de conjuntos sólo conoce los rangos de algunas de sus propias
variables, vistos como objetos (conjuntos). Pero visto por la teoría de un
solo modelo, cada variable de la teoría tiene un rango entre nociones,
que solamente son meta-objetos.
Los componentes de las teorías
Una vez elegido un marco lógico, el contenido de la teoría (o su
fundación, es decir, su contenido inicial, que describe la forma
de sus modelos destinados), consiste en una selección de 3 listas
sucesivas de los componentes, donde los de cada lista se utilizan
para construir los de la lista siguiente:
- Una lista de los tipos abstractos que sirve como los nombres de tipos;
- Un lenguaje (vocabulario): lista de símbolos de estructura,
los nombres de las estructuras relacionadas con los objetos
para formar sistemas (ver 1.4).
- Una lista de los axiomas (entre las fórmulas básicas de la teoría,
ver 1.5.).
Interpretación conjunto-teorética
Cualquier teoría genérica (y su modelo, si está considerado) puede ser
insertada (traducida) en la teoría de conjuntos mediante la conversión
de sus componentes en los componentes de la teoría de conjuntos.
Vamos a presentar el método genérico que funciona para cualquier teoría
genérica y el método diferente (no genérico) que en general está preferido
para el caso de geometría.
En todos los casos los tipos abstractos se convierten en las variables
fijas (o nuevos símbolos constantes) cuyos valores son conjuntos
llamados los tipos interpretados (los rangos respectivos de las variables
de cada tipo). Para la geometría, ambos tipos abstractos
«punto» y «línea recta» se convierten las variables en fijas P y L,
respectivamente designando el conjunto de todos los puntos y el conjunto
de todas las líneas rectas.
El uso de los símbolos variables se quedará sin cambios, tomando valores
entre algunos objetos de la teoría de conjuntos (pero no todos).
Mientras algunos objetos de la geometría, tales como líneas rectas,
suelen interpretarse como conjuntos (de puntos), el método genérico sólo
utiliza elementos puros como objetos (o podemos ser ambiguos llamándolos
elementos incluso si no son puros).
El método genérico también convertirá los símbolos estructurados en las
variables fijas. Las interpretaciones de tipos y símbolos estructurados
(sus valores como variables fijas) determinará el modelo, ya que son sus
componentes principales. El modelo, que por lo tanto se varia con estas
variables es el mismo un objeto de la teoría de conjuntos. Esto integra
todas las teorías que necesitamos como partes de la misma teoría de
conjuntos, recogiendo mientras tanto todos sus modelos dentro de un
modelo común de la teoría de conjuntos. Por esto los modelos de la teoría
de conjuntos se llamarán universos.
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FR : 1.3. Forme des
théories: notions, objets, méta-objets