1.10. Formalización de la teoría de conjuntos

El predicado de inclusión

El predicado de inclusión ⊂ entre dos conjuntos E y F, se define como
EF ⇔ (∀xE, xF).
Se lee como: E está incluido en F, o E es un subconjunto de F, o F incluye E.
Siempre tenemos E ⊂ E (ya que esto significa: ∀x, x ∈ E ⇒ x ∈ E).
Las cadenas de implicaciones también aparecen como cadenas de inclusión:
(EFG) ⇔ (EFFG) ⇒ EG.

La traducción del definidor en la lógica de primer orden

La traducción del definidor en la lógica de primer orden La traducción de la teoría de conjuntos en una teoría genérica convierte la el definidor de la función en una infinidad de símbolos de operador: para cada término t con un argumento (y los parámetros), la expresión completa (Ext(x)) es vista como el nombre grande de un símbolo de operador distinto, cuyos argumentos son E y los parámetros de t. (Aquellos en los que cada subexpresión de t sin ninguna ocurrencia de x es la única ocurrencia de un parámetro, sería suficiente para definir los otros). Lo mismo pasa con el constructor del grupo, que aparecerá como un caso particular en 1.11.
De esta forma, la lista de los axiomas de la teoría de conjuntos puede considerarse como la lista de los axiomas de la teoría genérica en la teoría de conjuntos en la que se convierte. Todos los axiomas que dependen de una expresión (un término para el definidor o una fórmula para el constructor de conjunto) son esquemas de axiomas. (Un esquema de las reclamaciones, es decir, axiomas o teoremas es una lista infinita de reclamaciones, generalmente obtenida sustituyendo un símbolo extra de la estructura por cualquier expresión posible difinida).

Primeros axiomas.

x,
Fnc x,
¬(Set(x) ∧ Fnc(x))
Set(Dom x)
E, ∀(parameteros),
SetE, ∀SetF,
Fnc(Ext(x)) para cualquier termino t
EFEE=F (Axioma de Extensionalidad).
El último redefine la igualdad entre los conjuntos de su equivalencia como clases (dejando los elementos en la lista): EFE significa que E y F tienen los mismos elementos (∀ x, xExF) así que para cualquier predicado R ,

(∀xF, R(x)) ⇔ (∀xE, R(x))

y lo mismo para ∃.

Axiomas para funciones. Para cualquier functor t (para ser reemplazado por todos los términos que pueden definirlos), tenemos los siguientes axiomas en los que el primero resume los otros 3: para todos los valores de los parámetros de t, cualquier conjunto E incluido en la clase de definitud de t (esta condición ∀xE, dt(x) es la condición de definitud para (Ext(x))), y todas las funciones f y g,

f = (Ext(x)) ⇔ ( Dom f = E ∧ (∀xE, f(x) = t(x)))
Dom (Ext(x)) = E
xE, (Eyt(y)) (x) = t(x)
(Dom f = Dom g ∧ ∀x∈Dom f, f(x) = g(x)) ⇒ f = g

Un principio general para la formalización de la teoría de conjuntos

Para cualquier tipo de meta-objetos expresables indirectamente y utilizables como objetos en expresiones, la teoría de conjuntos se enriquecerá con las herramientas para presentarlas de una manera directa como objetos. Es decir, las clases que se portan como conjuntos serán convertibles en conjuntos (1.11), y los elementos indirectamente especificadas serán directamente especificados (2.4). Pero cuando la expresión indirecta de meta-objetos (aquí functores) puede ejecutarse sobre la infinidad de las posibles expresiones (aquí cualquier término), se necesita otra razón para ver todos estos meta-objetos como objetos definidos de un único tipo (funciones): la razón aquí es que los dominios de estos functores son conjuntos, dados como un argumento al definidor. Al contrario, no puede existir una clase de todos los functores, ni de todas las clases: ingenuamente tratando a insertalo en el mismo universo podría llevar a contradicciones por razonamientos como la demostración de la paradoja de Russell.

Los meta-objetos que se comportan como objetos con otra tarea más allá de conjuntos y funciones, se representarán como otro tipo de objetos (operaciones, relaciones, tuplas) y las herramientas de conversión de papeles (meta-objetos) a los objetos se completarán por las nuevas herramientas de conversión de objetos en sus papeles. Pero esto puede ser hecho dentro de la misma teoría de conjuntos (simplemente desarrollandola), como los objetos ya presentes (conjuntos o funciones) pueden encontrarse para interpretar de forma natural los papeles de estos nuevos objetos. Entonces, las nuevas nociones pueden ser definidas como clases de los objetos existentes (que ofrecerán sus características expresables a los nuevos objetos), mientras que las herramientas de la interpretación y definición de objetos (convertiendo los objetos en sus funciones de meta-objetos y al revés) están definidas como abreviaturas de algunas expresiones fijas. Entonces, los únicos functores necesarios de la conversión entre los objetos que interpretan el papel del mismo meta-objeto por diferentes métodos (expresiones), se relacionarán los objetos diferentes de los tipos antiguos que representan de una manera útil de maneras diferentes el mismo objeto del tipo nuevo.

Formalización de las operaciones y currificación

La noción de la operación n-aria, los objetos que actúan como operadores n-arios entre los conjuntos de n, se formalizarían por: La noción de operación puede representarse como una clase de funciones, de la manera siguiente llamada currificación. El papel de la operación definidor (conexión de n variables) es interpretado por la sucesión de n utilizaciones del definidor de una función (uno para cada variable ligada); y de misma manera como un evaluador, n usos del evaluador de funcion. Por ejemplo (n = 2), la operación binaria f definida por el término (predicado binario) t con argumentos x en E e y en F, puede ser formalizada por

f ≈ (Ex ↦ (Fyt(x,y))) = g
f
(x,y) = g(x)(y) = t(x,y)

La función intermedia g(x) = (Fyt(x,y)) con argumento y, visto x como fijo e y como ligado. Pero esto rompe la simetría entre los argumentos, y pierde los datos de F cuando E está vacío, pero no al revés. Una formalización sin estos defectos será posible usando las tuplas (2.1.).

La formalización de las relaciones n-arias implica un predicado (n+1)-ario de evaluación, y un definidor que conecta n variables a una fórmula. También podemos ver tanto las relaciones n-arias como casos particulares de las operaciones n-arias (que representan Booleanos como objetos), como ver las operaciones de n-arias como casos particulares de relaciones (n + 1)-arios (ver 2.3). Y al igual que las operaciones, las relaciones pueden reducirse al caso unario de 2 formas: por currificación (con n-1 usos del definidor de la función y 1 uso de constructor de conjuntos, como se hará en 2.3 con n = 2), o utilizando tuplas (2.1).

La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas
1. Primeros fundamentos de matemática
1.1. Introducción a los fundamentos de matemática
1.2. Variables, conjuntos, funciones y operaciones
1.3. Forma de teorías: nociones, objetos, meta-objetos
1.4. Estructuras de los sistemas matemátios
1.5. Expresiones y estructuras definibles
1.6. Conectivas lógicas
1.7. Clases en la teoría de conjuntos
1.8. Símbolos ligados en la teoría de conjuntos
1.9. Cuantificadores
1.10. Formalización de la teoría de conjuntos
1.11. El principio de generación de conjunto
Los aspectos filosóficos
Tiempo en la teoría del modelo
Tiempo en la teoría de conjuntos
Interpretación de clases
Conceptos de verdad en matemáticas
2. La teoría de conjuntos (continuación) 3. La teoría del modelo

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