1.2. Variables, conjuntos, funciones y operaciones

Empecemos matemática con la introducción de algunos conceptos simples del ciclo de fundación, que puede parecer autosuficiente. Es natural empezar con una teoría de conjuntos no totalmente formalizada como una teoría axiomática.
Primero vamos a explicar lo que es un conjunto, entonces vamos a completar el cuadro con más conceptos y explicaciones sobre el contexto de las fundaciones (teoría de modelos) y sus principales sutilezas (paradojas).

Constantes

Un símbolo constante es un símbolo que denota un único objeto, denominado el valor. Ejemplos: 3, Ø, ℕ. Estos signos del idioma inglés son nombres personales y nombres con el cierto artículo (caso singular sin complemento).

Variables libres y ligadas

Un símbolo de una variable (o simplemente una variable), es un símbolo sin un valor fijo. Cada posible interpretación aporta un valor particular y así lo ve como una constante.

Esto se puede imaginar como algo que está dentro de una caja(tiene un cierto límite), cuyo interior tiene múltiples versiones en paralelo.
Los diversos «puntos de vista internos», que corresponden a los posibles valores fijos, pueden ser considerados como «localidades» abstractas en el universo matemático, mientras que la sucesión de estados de un símbolo (como, una constante, una variable libre o una variable ligada), puede ser vista como una primera expresión del flujo del tiempo en las matemáticas: una variable es ligada cuando todos los diversos "lugares paralelos dentro de la caja" (valores posibles) son el pasado. Todos estos lugares y tiempos son los objetos matemáticos abstractos puros.

Rangos y conjuntos

El rango de una variable es su valor cuando se considera como ligada: es el «conocimiento» de todos sus posibles o autorizados valores que se denominan los elenemtos de ese rango. Este «conocimiento» es un objeto abstracto que puede abarcar una cantidad infinita de objetos, a diferencia del pensamiento humano. Una variable tiene un rango cuando puede ser ligada, es decir, cuando es posible una vista que abarca todos los posibles valores.

Cualquier rango de una variable se llama un conjunto.

Cantor ha definido un conjunto como “la unión de los objetos bien destinguidos de nuestra vista o nuestros pensamientos”. El explicaba a Dedekind: “Si la totalidad de los elementos de una multiplicidad puede ser pensada como «simultáneamente existente», de modo que pueda ser percibido como un «objeto único» (o«objeto completo»), yo lo llamo una multiplicidad consistente o un«conjunto». ” (Expresamos esta “multiplicidad” como multiplicidad de valores de una variable).

El ha descrito el caso contrario como una «multiplicidad inconsistente» donde “la admisión de la coexistencia de todos sus elementos lleva a la contradicción”. Pero ratificación no puede ser suficiente para dar una definición general de los conjuntos: la ratificación no implica su veracidad (la declaración contraria puede ser cierta, pero improbable); los mismos hechos de la ratificación pueden ser improbables (teorema de incompletitud); y dos coexistencias separadas y consistentes pueden contradecirse entre sí (Paradoja de la fuerza irresistible/ Paradoja de la omnipotencia).

Una variable recorre un conjunto cuando está ligada tanto con este conjunto como con su rango. Cualquier número de variables puede ser introducido dentro del rango de un dicho conjunto de forma independiente entre sí y entre otras variables. Cambios de nombre sistemáticos de la variable ligada en toda la "caja" a otro símbolo que no está utilizado en el mismo contexto (“la misma caja”), con el mismo rango, no cambia el significado entero. En práctica, la misma letra puede significar varias separadas variables ligadas (con cajas separadas) que pueden coger distintos valores sin conflictos, ya que nunca están interpretados juntos, y por lo tanto no son comparables. El lenguaje común está continuamente haciendo esto, usando pocos caracteres variables ("él", "ella", "ello" ...).

Funciones

Una función es cualquier objeto f que se comporta como una variable que depende de otra variable con el rango indicado como Dom f, llamado su argumento, cuyo rango se indica con el símbolo Dom f: cuando ese argumento es fijo(indicado como símbolo x), f se convierte en una constante (indicada como f(x)). En otras palabras, f contiene los datos siguientes:

Operaciones

El concepto de la operación generaliza una función, admitiendo una lista finita de argumentos (variables con los rangos respectivos dados) en vez de una. Así la operación da un resultado (el valor) cuando todos sus argumentos son fijos. El número n de argumentos de una operación se llama su aridad; una operación se llama n-aria. Se llama nularia si n=0 (es una constante), unaria si n=1(es una función), binaria si n=2, ternaria si n=3...

Operaciones nularias son inútiles, porque se les puede sustituir por su valor; ya veremos como crear operaciones con aridad >1 mediante las funciones.

El valor de una operación binaria f sobre sus argumentos fijos x e y denota f(x,y). Generalmente, en vez de los símbolos los argumentos están representados por los espacios por la izquierda y por la derecha entre paréntesis para luego poder llenarlos con cualquier expresión que da los valores deseados.
La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas
1. Primeros fundamentos de matemática
Los aspectos filosóficos
2. La teoría de conjuntos (continuación) 3. La teoría del modelo
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