1.Primeros fundamentos de matemática:

1.1.Introducción a los fundamentos de matemática

Matemática y teorías

Matemática es el estudio de los sistemas que consisten de objetos elementales, cuya naturaleza ha de ser exacta y no tener doble sentido (dos objetos pueden ser iguales o diferentes, conectados o no, cualquier operación ha de dar el resultado exacto etc.). Matemática puede ser vista como “la ciencia de todods los mundos posibles” (mundos de objetos exactos).

Matemática se divide en distintas ramas, las bases internas o externas de cualquier trabajo matemático que pueden estar formalizadas como teorías axiomáticas. Cada teoría es un estudio de un cierto sistema (mundo) de objetos llamado el modelo de esa teoría. Aunque cada modelo de teoría puede ser sólo una de sus poibles inerpretaciones entre otros modelos igual de legítimos. Por ejemplo, digamos que todas las hojas de papel son el sistema de puntos materiales, los modelos de la misma teoría de la geometría plana euclidiana, pero independientes entre sí.

Fundamentos y desarrollo

Cada teoría empieza desde la fundación- los datos de discripción donde pone que es lo que se sabe o se supone sobre el modelo concreto (su forma o tipo). La fundación incluye la lista de fórmulas(estados) que se denominan axiomas y expresan las características necesarias del modelo, es decir se eligen los modelos aceptados como sistemas donde los axiomas son verdaderos desde el rango entero de los sistemas posibles donde pueden ser interpretados.

Entonces el estudio de la teoría se avanza por uno de los posibles caminos de desarrollo: la aparición de los nuevos conceptos y obtención de la información sobre este modelo, como resultado de una fundación dada, y lo que podemos añadir desde la fundación siguiente.

En particular el teorema es una fórmula sacada de sus axiomas, así que se concidera correcta en todos los modelos de la teoría. Los teoremas pueden ser añadidos a la lista de axiomas de la teoría sin cambiar su significado.

Otras vías de posible desarrollo (que aún no están elegidas) pueden aparecer más tarde. Así el conjunto de los posibles desarrollos de las teorías no depende del orden elegido para su tratamiento, ya forma una especie de “realidad” la que estudia esos desarrollos (antes de teorema de completitud vamos a enseñar como un conjunto de posibles teoremas refleja la realidad de la diversidad de posibles modelos).

También es posible estructura jerarquica de teorías donde una de las teorías puede jugar un papel fundamental para otras. Por ejempo, las bases de algunas teorías pueden tener la parte común formando una teoría más simple, cuyos desarrollos son aplicables a todos.

La tarea fundamental está en el desarrollo desde la fase simple hasta la más compleja que dispone de herramientas eficientes que aportan más caminos de desarrollo de un modelo.

El ciclo de las fundaciones

A pesar de lo simple que es la naturaleza de los objetos matemáticos, la base general de toda matemática resulta bastante compleja (aunque no tan compleja como la reoría del todo en física). De verdad en sí mismo es un estudio matemático, por lo tanto hay una rama de las matemáticas que se llama lógica matemática. Como cualquier otra rama, esta está hecha de definiciones y teoremas sobre sistemas de objetos. Pero como su objeto es una forma principal de teorías y sistemas que ellos pueden describir, se proporciona el marco general de todas las ramas de las matemáticas ... incluyendo a sí misma.

Y para proporcionar un marco o un fundamento de cada fundación considerada (a diferencia de trabajos matemáticos ordinarios que van para adelante desde un fundamento asumido), no se ve como un punto de inicio preciso, sino una especie de un ciclo ancho compuesta de los pasos más fáciles y más difíciles. Sin embargo este ciclo de fundaciones de verdad juega un papel funcional de matemática, proporcionando los marcos fijos y muchos conceptos útiles a diversas ramas de las matemáticas (herramientas, inspiraciones y diversas preguntas filosóficas).

(Es como un diccionario, que hace definiciónes de cada palabra usando otras palabras, u como otros sistemas científicos finitos: programación de computadoras. De hecho, los ordenadores pueden usarse fácilmente, sabiendo lo que estás haciendo, pero sin saber por qué funciona; su trabajo se basa en el software escrito en un lenguaje determinado, entonces compilado por otro software, y también se basa en el hardware y el procesador cuyo diseño y producción eran parte de una computadora. Y esto es mucho mejor que ha aparecido desde la creación de esta área del conocimiento.)

Estas son las dos teorías principales:

La teoría de conjuntos describe el universo de «todos los objetos matemáticos», desde los más simples hasta los más complejos, como sistemas infinitos (en un lenguaje finito). Es más o menos puede ser visto como una teoría, pero en detalles tendrá una diversidad ilimitada de posibles variantes (no siempre equivalentes entre sí).
La teoría de modelos es la teoría general de las teorías (describe sus formalismos como sistemas de símbolos) y sus posibles modelos

Cada una de las teorías es el marco natural que se utiliza para formalizar la otra: cada teoría de conjuntos está formalizada como una teoría descrita por la teoría de modelos; esta última más bien viene como un desarrollo de la teoría de conjuntos (definiendo teorías y sistemas como objetos complejos) que directamente como una teoría. Ambas conexiones deben ser consideradas por separado: los dos papeles de la teoría de conjuntos, como base y un objeto de estudio para la teoría de modelos, deben distinguirse. Pero estas formalizaciones van a exigir mucho trabajo para completar, especialmente para esta siguiente última pieza:

Teoría de la demostración completa la teoría de modelos mediante la descripción de un posible sistema formal de reglas de pruebas que dan los teoremas de cualquier teoría. Una teoría es consistente si sus teoremas nunca van a contradecirse entre sí. Teorías inconsistentes no pueden tener cualquier modelo, porque la misma declaración no puede ser “verdadera” y “falsa” en el mismo sistema.

La teoría del modelo y la teoría de la demostración son esencialmente únicos, dando un significado natural claro a los conceptos de teoría, teoremas y consistencia de cada teoría.

La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas
1. Primeros fundamentos de matemática 1.1. Introducción a los fundamentos de matemática ⇨ 1.2. Variables, conjuntos, funciones y operaciones 1.3. Forma de teorías: nociones, objetos, meta-objetos 1.4. Estructuras de los sistemas matemátios 1.5. Expresiones y estructuras definibles	1.6. Conectivas lógicas 1.7. Clases en la teoría de conjuntos 1.8. Símbolos ligados en la teoría de conjuntos 1.9. Cuantificadores 1.10. Formalización de la teoría de conjuntos 1.11. El principio de generación de conjunto
Los aspectos filosóficos Tiempo en la teoría del modelo	Tiempo en la teoría de conjuntos Interpretación de clases Conceptos de verdad en matemáticas
2. La teoría de conjuntos (continuación)	3. La teoría del modelo

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